物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 36 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.1 s，之后汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 36 km/ht_r = 1.1 sa = −6 m/s²

d = m

2.运动学困难

球 A 从 35 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 19 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 35 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 7 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 7 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 75 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；3 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgF = 75 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 50° 的角度抛出，落在 135 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 50°R = 135 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 10 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 10 m/sθ = 45°h = 10 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 130 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 130 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 140 m 的弯道倾斜 18°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 140 mθ = 18°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.15 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.15 kgk = 2000 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

在 25° 斜坡底部有一根刚度为 800 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 800 N/mx = 15 cmθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一个以 11 m/s 水平运动的 19 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。4 kg 的碎片以 58 m/s 继续向前运动。求 15 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 19 kgu = 11 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 58 m/sm₂ = 15 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 30 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.45 kgv_in = 30 m/sv_out = 16 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一颗以 400 m/s 运动的 15 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1 kg 木块中。木块连在一根 k = 1700 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 15 gv = 400 m/sM = 1 kgk = 1700 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 25 cm 的薄会聚透镜前 6 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 6 cmf = 25 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 550 nm 的光垂直照射在每毫米 300 条刻线的光栅上。求第 3 级极大的角度 θ₃。

N = 300 mm⁻¹λ = 550 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 19.33 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 10·1.1 = 11 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·6) = 8.333 m

合计

d = 11 + 8.333 = 19.33 m

答案

d = 19.33 m

2.运动学

答案: t = 1.842 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

35 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 35/19 = 1.842 s

答案

t = 1.842 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.206 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.2·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1732) = 3.206 m/s²

答案

a = 3.206 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 56.25 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (75 − 5.886)/4 = 17.28 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(17.28 + 1.472) = 56.25 N

答案

T = 56.25 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 36.67 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·135/sin 100°) = 36.67 m/s

答案

v₀ = 36.67 m/s

6.抛体运动

答案: α = 65.74 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 10·cos 45° = 7.071 m/s

v_y0 = 10·sin 45° = 7.071 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(7.071² + 2·9.81·10) = 15.69 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 15.69/7.071 → α = 65.74°

答案

α = 65.74°

7.圆周运动

答案: v_max = 19.56 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·130) = 19.56 m/s

答案

v_max = 19.56 m/s (70.42 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 5.584 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(140·9.81·0.0237/1.044) = 5.584 m/s

答案

v_min = 5.584 m/s

(20.1 km/h)

9.功和能

答案: h = 4.349 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·2000·0.08² = 6.4 J

高度

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 6.4/1.472 = 4.349 m

答案

h = 4.349 m

10.功和能

答案: d = 1.321 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·800·0.15² = 9 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 9/(9.81·(0.4226 + 0.3·0.9063)) = 1.321 m

答案

d = 1.321 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −1.533 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 19·11 = 209 kg·m/s

碰撞后的动量

209 = 4·58 + 15·v′₂

v′₂ = (209 − 232)/15 = −1.533 m/s

答案

v′₂ = −1.533 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 828 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(16 + 30) = 20.7 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 20.7/0.025 = 828 N

答案

F_avg = 828 N

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.198 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.2/9.81) = 2.198 s

答案

T = 2.198 s

14.弹簧与单摆

答案: A = 14.44 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.015·400/1.015 = 5.911 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1700/1.015) = 40.93 rad/s

振幅

A = V/ω = 5.911/40.93 = 0.1444 m = 14.44 cm

答案

A = 14.44 cm

15.波、声与光学

答案: d_i = −7.895 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/6

d_i = −7.895 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −7.895 cm

16.波、声与光学

答案: θ₃ = 29.67 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 3·550 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.495

θ = 29.67°

答案

θ₃ = 29.67°

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