物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 54 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 4 s，然后匀速行驶 5 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 4 st₂ = 5 sa₃ = −2.5 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 8 kg 和 5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 8.5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 8.5 m/sθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 32 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 28 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 11 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 40°h_roof = 11 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.8 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.8 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 0.6 kg 的小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.6 kgr = 1.4 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 70 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 70 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 4.5 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 24 m/s 水平运动的 9 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。1 kg 的碎片以 44 m/s 继续向前运动。求 8 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 9 kgu = 24 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 44 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 15 m/sv_out = 5 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.8 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.8 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 3.4 s，振幅为 16 cm。它从最大位移 16 cm 处运动到位移 11.2 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 3.4 sA = 16 cmx = 11.2 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 30 cm 的薄会聚透镜前 25 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 25 cmf = 30 cm

m =

16.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光照射到相距 0.1 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求从中央亮条纹到第 3 条亮条纹的距离 y₃。

λ = 600 nmd = 0.1 mmL = 1 mm = 3

y₃ = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 3.75 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/4 = 3.75 s

答案

t = 3.75 s

2.运动学

答案: t = 10.6 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·4 = 4 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 4/2.5 = 1.6 s

总时间

t = 4 + 5 + 1.6 = 10.6 s

答案

t = 10.6 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.264 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8 − 5)·9.81/(8 + 5) = 2.264 m/s²

答案

a = 2.264 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 6.713 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.3·cos 15°) = 5.382 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 8.5²/(2·5.382) = 6.713 m

答案

d = 6.713 m

5.抛体运动

答案: t = 4.194 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24.51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20.57 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·20.57/9.81 = 4.194 s

答案

t = 4.194 s

6.抛体运动

答案: x = 62.09 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 21.45 m/s, v_y = 18 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

11 = 18·t − 4.905·t²

t = (18 + √(18² − 2·9.81·11))/9.81 = 2.895 s

水平距离

x = v_x·t = 21.45·2.895 = 62.09 m

答案

x = 62.09 m

7.圆周运动

答案: ω = 2.416 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.6·2.8)) = 2.416 rad/s

答案

ω = 2.416 rad/s

8.圆周运动

答案: T = 14.56 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·4.5²/1.4 = 5.886 + 8.679 = 14.56 N

答案

T = 14.56 N

9.功和能

答案: d = 32.12 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.6·9.81) = 32.12 m

答案

d = 32.12 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 56.03 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(4.5 − 0.2·2.5) = 157 J

最大压缩量

½kx² = 157 → x = √(2·157/1000) = 0.5603 m = 56.03 cm

答案

x = 56.03 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 21.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 9·24 = 216 kg·m/s

碰撞后的动量

216 = 1·44 + 8·v′₂

v′₂ = (216 − 44)/8 = 21.5 m/s

答案

v′₂ = 21.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 11 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(5 + 15) = 11 N·s

答案

J = 11 N·s

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.691 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.8/9.81) = 2.691 s

答案

T = 2.691 s

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.4304 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/3.4 = 1.848 rad/s

求解时间

0.7 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.7) = 0.7954 rad

t = 0.7954/1.848 = 0.4304 s

答案

t = 0.4304 s

15.波、声与光学

答案: m = 6

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/25

d_i = −150 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −(−150)/25 = 6

答案

m = 6

16.波、声与光学

答案: y₃ = 18 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1/(0.1 × 10⁻³) = 6 mm

第 3 条条纹

y₃ = 3·6 = 18 mm

答案

y₃ = 18 mm

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