物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 31 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 31 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 15 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 20 kgθ = 40°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 32 m/s 抛出，必须落在 80 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 32 m/sR = 80 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从地面以 28 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 22 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 65°h_roof = 22 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 60 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 60 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.2 kg 的球系在长 0.5 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 11 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.2 kgr = 0.5 mv_bottom = 11 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆 1200 kg 的汽车以恒定的 54 km/h 驶上 6° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 350 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1200 kgθ = 6°F_r = 350 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 4.5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 0.9 m 的轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 1 kgL = 0.9 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 290 N/m 弹簧上的 0.9 kg 物体被沿正方向拉开 8 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.2 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 0.9 kgk = 290 N/mA = 8 cmt = 1.2 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

把一个 1 kg 的物体挂在一根 k = 450 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 1 kgk = 450 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一台机器在某点产生 65 dB 的声级。当 5 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β₁ = 65 dBn = 5

β = dB

16.波、声与光学困难

波长为 589 nm 的光通过一条宽 0.12 mm 的单缝。求 1.5 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 589 nma = 0.12 mmL = 1.5 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 549.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·31/3.5 = 17.71 s

距离

d = v·t = 31·17.71 = 549.1 m

答案

d = 549.1 m

此时警车的速度为 2v = 62 m/s。

2.运动学

答案: t = 4.062 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·20))/9.81 = 4.062 s

答案

t = 4.062 s

3.牛顿定律

答案: F = 186.2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 126.1 + 60.12 = 186.2 N

答案

F = 186.2 N

4.牛顿定律

答案: a = 2.453 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 22.07)/13 = 2.453 m/s²

答案

a = 2.453 m/s²

5.抛体运动

答案: θ = 25.02 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·80/32² = 0.7664

相角

2θ = 50.03° → θ = 25.02°

答案

θ = 25.02°

另一个解为 90° − θ = 64.98°。

6.抛体运动

答案: x = 48.19 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 11.83 m/s, v_y = 25.38 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

22 = 25.38·t − 4.905·t²

t = (25.38 + √(25.38² − 2·9.81·22))/9.81 = 4.072 s

水平距离

x = v_x·t = 11.83·4.072 = 48.19 m

答案

x = 48.19 m

7.圆周运动

答案: v_max = 17.16 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·60) = 17.16 m/s

答案

v_max = 17.16 m/s (61.76 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 38.59 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 11² − 4·9.81·0.5 = 101.4 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.2·101.4/0.5 − 0.2·9.81 = 38.59 N

答案

T_top = 38.59 N

9.功和能

答案: P = 23.71 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 6° = 1231 N

F = 1231 + 350 = 1581 N

功率

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1581·15 = 23708 W = 23.71 kW

答案

P = 23.71 kW

10.功和能

答案: x = 18.16 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(4.5 − 0.2·1.5) = 82.4 J

最大压缩量

½kx² = 82.4 → x = √(2·82.4/5000) = 0.1816 m = 18.16 cm

答案

x = 18.16 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −3 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 2.5)/(1.5 + 2.5)·12 = −3 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 2.5)·12 = 9 m/s

答案

v′₁ = −3 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v = 52.63 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.9·(1 − cos 20°) = 0.05428 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.05428) = 1.032 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.02·1.032/0.02 = 52.63 m/s

答案

v = 52.63 m/s

13.弹簧与单摆

答案: x = −7.202 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(290/0.9) = 17.95 rad/s

ω·t = 17.95·1.2 = 21.54 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(21.54) = −7.202 cm

答案

x = −7.202 cm

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.4624 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1·9.81/450 = 0.0218 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(450/1) = 21.21 rad/s

v_max = A·ω = 0.0218·21.21 = 0.4624 m/s

答案

v_max = 0.4624 m/s

15.波、声与光学

答案: β = 71.99 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 5·I₁

难度

β = 65 + 10·log₁₀(5) = 71.99 dB

答案

β = 71.99 dB

16.波、声与光学

答案: w = 14.72 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 589 × 10⁻⁹·1.5/(0.12 × 10⁻³) = 7.362 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 14.72 mm

答案

w = 14.72 mm

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