物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 80 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 3 m/s² 加速 12 s，然后匀速行驶 10 s，最后以 3 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 12 st₂ = 10 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 3 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 3 m/sθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 20 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 20 m/sθ = 60°h = 30 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一个半径为 130 m 的弯道倾斜 20°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 130 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 60 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 60 mθ = 30°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 50°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 0.5 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.2）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 3 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 3 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 11 m/s 行驶的 1900 kg 汽车撞上一辆静止的 600 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1900 kgv₁ = 11 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 9 m/s 撞到墙上，并以 14 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.5 kgv_in = 9 m/sv_out = 14 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.6 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 0.8 kg 的物体连在 k = 170 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.8 kgk = 170 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

观察者以 5 m/s 的速度远离频率为 600 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光通过一条宽 0.15 mm 的单缝。求 3 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 600 nma = 0.15 mmL = 3 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.04 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/5.5 = 4.04 s

答案

t = 4.04 s

2.运动学

答案: t = 34 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·12 = 36 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 36/3 = 12 s

总时间

t = 12 + 10 + 12 = 34 s

答案

t = 34 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.216 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.3·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2457) = 3.216 m/s²

答案

a = 3.216 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 0.9498 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.15·cos 20°) = 4.738 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 3²/(2·4.738) = 0.9498 m

答案

d = 0.9498 m

5.抛体运动

答案: t = 2.854 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 30° = 24.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 30° = 14 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·14/9.81 = 2.854 s

答案

t = 2.854 s

6.抛体运动

答案: v = 31.44 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 20·cos 60° = 10 m/s

v_y0 = 20·sin 60° = 17.32 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(17.32² + 2·9.81·30) = 29.81 m/s

落水速度

v = √(10² + 29.81²) = 31.44 m/s

答案

v = 31.44 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: v = 21.54 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(130·9.81·tan 20°) = 21.54 m/s

答案

v = 21.54 m/s

(77.56 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 24.99 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(60·9.81·0.7598/0.716) = 24.99 m/s

答案

v_max = 24.99 m/s

(89.97 km/h)

9.功和能

答案: T = 16.82 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 50°) = 3.504 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·3.504/0.5 = 16.82 N

答案

T = 16.82 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 16.82 N。

10.功和能

答案: v = 2.737 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 29.43·3 = 88.29 J

μ·m₁g·d = 0.2·78.48·3 = 47.09 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 41.2 → v = √(2·41.2/11) = 2.737 m/s

答案

v = 2.737 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 27588 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·11/2500 = 8.36 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1900·11² = 114950 J

K_after = ½·2500·8.36² = 87362 J

损失的能量

ΔK = 114950 − 87362 = 27588 J

答案

ΔK = 27588 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 460 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(14 + 9) = 11.5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 11.5/0.025 = 460 N

答案

F_avg = 460 N

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.68 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.6/2π)² = 1.68 m

答案

L = 1.68 m

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 21.25 m/s²

角频率

ω = √(170/0.8) = 14.58 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.1·14.58² = 21.25 m/s²

答案

a_max = 21.25 m/s²

15.波、声与光学

答案: f′ = 591.3 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 5)/(343 + 0)

f′ = 591.3 Hz

答案

f′ = 591.3 Hz

16.波、声与光学

答案: w = 24 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·3/(0.15 × 10⁻³) = 12 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 24 mm

答案

w = 24 mm

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