物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/ht_r = 1 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 3 m/s² 加速 7 s，然后匀速行驶 12 s，最后以 5 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 7 st₂ = 12 sa₃ = −5 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 12 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 12 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.2 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.2 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个半径为 70 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 70 mθ = 30°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 6 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 45°μ = 0.25d = 6 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 3 mL = 1.5 mμ = 0.1k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1.6 m 的轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 15°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 3.5 kgL = 1.6 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.42 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.1 mT = 3.42 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 1.8 kg 的物体连在 k = 260 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1.8 kgk = 260 N/mA = 3 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 15 cm 的薄会聚透镜前 20 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 20 cmf = 15 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光通过一条宽 0.15 mm 的单缝。求 3 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 600 nma = 0.15 mmL = 3 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 29.86 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 12.5·1 = 12.5 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4.5) = 17.36 m

合计

d = 12.5 + 17.36 = 29.86 m

答案

d = 29.86 m

2.运动学

答案: t = 23.2 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·7 = 21 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 21/5 = 4.2 s

总时间

t = 7 + 12 + 4.2 = 23.2 s

答案

t = 23.2 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.781 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

答案

a = 2.781 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 22.07 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 7.357)/7.5 = 4.905 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·4.905 + 7.357 = 22.07 N

答案

T = 22.07 N

5.抛体运动

答案: x = 102.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 50° = 20.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 50° = 24.51 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·24.51/9.81 = 4.998 s

水平距离

x = v_x·t = 20.57·4.998 = 102.8 m

答案

x = 102.8 m

6.抛体运动

答案: H = 38.67 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 12·sin 45° = 8.485 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 8.485²/(2·9.81) = 3.67 m

离地面的高度

H = 35 + 3.67 = 38.67 m

答案

H = 38.67 m

7.圆周运动

答案: ω = 2.361 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·2.2)) = 2.361 rad/s

答案

ω = 2.361 rad/s

8.圆周运动

答案: v_max = 25.77 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(70·9.81·0.7165/0.741) = 25.77 m/s

答案

v_max = 25.77 m/s

(92.76 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 26.01 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.7071 = 17.34 N

F = μN = 0.25·17.34 = 4.335 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 4.335·6 = 26.01 J

答案

W_f = 26.01 J

10.功和能

答案: x = 16.72 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(3 − 0.1·1.5) = 13.98 J

最大压缩量

½kx² = 13.98 → x = √(2·13.98/1000) = 0.1672 m = 16.72 cm

答案

x = 16.72 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 5.143 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 4)/(3 + 4)·6 = −0.8571 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4)·6 = 5.143 m/s

答案

v′₂ = 5.143 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 182 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 15°) = 0.05452 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.05452) = 1.034 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.52·1.034/0.02 = 182 m/s

答案

v = 182 m/s

13.弹簧与单摆

答案: g = 3.713 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.1/3.42² = 3.713 m/s²

答案

g = 3.713 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: E = 0.117 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(260/1.8) = 12.02 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·260·0.03² = 0.117 J

答案

E = 0.117 J

15.波、声与光学

答案: d_i = 60 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/20

d_i = 60 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 60 cm

16.波、声与光学

答案: w = 24 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·3/(0.15 × 10⁻³) = 12 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 24 mm

答案

w = 24 mm

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