物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 11 s，然后匀速行驶 9 s，最后以 2 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 11 st₂ = 9 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

质量为 7 kg 和 2.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 7 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 8 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 30° 的角度抛出，落在 135 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 30°R = 135 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 0.9 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 40° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 0.9 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个 0.6 kg 的球系在长 0.7 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 12 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.6 kgr = 0.7 mv_bottom = 12 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的球挂在长 1 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 45°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 10 kgL = 1 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 3 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.25）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 19 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 3 kgh = 19 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 12 m/s 向东行驶的 1700 kg 汽车与一辆以 23 m/s 向北行驶的 1100 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1700 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 23 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.8 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.8 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 160 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 14 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 11 cm 时的动能 K。

k = 160 N/mA = 14 cmx = 11 cm

K = J

15.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.5 m。声速为 343 m/s。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 343 m/sn = 1L = 0.5 m

f₁ = Hz

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 40 cm：透镜 1 的 f₁ = 8 cm，透镜 2 的 f₂ = 5 cm。一个物体位于透镜 1 前 30 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 8 cmf₂ = 5 cms = 40 cmd_o = 30 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 82.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·3) = 82.3 m

答案

s = 82.3 m

2.运动学

答案: s = 440 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·11 = 22 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2·11² = 121 m

s₂ = 22·9 = 198 m

s₃ = 22²/(2·2) = 121 m

总距离

s = 121 + 198 + 121 = 440 m

答案

s = 440 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.647 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7 − 2.5)·9.81/(7 + 2.5) = 4.647 m/s²

答案

a = 4.647 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 20.55 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 7.848)/10.5 = 1.588 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8·1.588 + 7.848 = 20.55 N

答案

T = 20.55 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 39.11 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·135/sin 60°) = 39.11 m/s

答案

v₀ = 39.11 m/s

6.抛体运动

答案: x = 75.97 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 40° = 18.39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 40° = 15.43 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 15.43·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15.43 + √(238 + 392.4))/9.81 = 4.132 s

水平距离

x = v_x·t = 18.39·4.132 = 75.97 m

答案

x = 75.97 m

7.圆周运动

答案: T = 1.666 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.9·sin 40° = 0.5785 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.5785·9.81·tan 40°) = 2.182 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.5785/2.182 = 1.666 s

答案

T = 1.666 s

8.圆周运动

答案: T_top = 94 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 12² − 4·9.81·0.7 = 116.5 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.6·116.5/0.7 − 0.6·9.81 = 94 N

答案

T_top = 94 N

9.功和能

答案: T = 155.6 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 45°) = 5.747 m²/s²

最低点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·5.747/1 = 155.6 N

答案

T = 155.6 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 155.6 N。

10.功和能

答案: v = 3.954 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·1.5 = 73.58 J

μ·m₁g·d = 0.25·29.43·1.5 = 11.04 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 62.54 → v = √(2·62.54/8) = 3.954 m/s

答案

v = 3.954 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 291.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.19) = 1.931 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 3)·1.931/0.02 = 291.5 m/s

答案

v = 291.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 51.12 °

动量分量

p_x = 1700·12 = 20400 kg·m/s

p_y = 1100·23 = 25300 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 1.24 → θ = 51.12°

答案

θ = 51.12°

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.691 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.8/9.81) = 2.691 s

答案

T = 2.691 s

14.弹簧与单摆

答案: K = 0.6 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·160·0.14² = 1.568 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·160·0.11² = 0.968 J

动能

K = 1.568 − 0.968 = 0.6 J

答案

K = 0.6 J

15.波、声与光学

答案: f₁ = 343 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.5/1 = 1 m

频率

f = v/λ = 343/1 = 343 Hz

答案

f₁ = 343 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i2 = 6.038 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/8 − 1/30 → d_i1 = 10.91 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 40 − 10.91 = 29.09 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/5 − 1/29.09 → d_i2 = 6.038 cm

答案

d_i2 = 6.038 cm

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