物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 50 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 50 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 17 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 50 mv_0B = 17 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 3 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 2.3 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 3 m/sd = 2.3 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 7 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 120 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 55°R = 120 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 31 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个半径为 80 m 的弯道倾斜 18°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 80 mθ = 18°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.2 kg 的小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.2 kgr = 0.6 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 800 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 6° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 600 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 800 kgθ = 6°F_r = 600 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 3 mL = 3 mμ = 0.3k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 36 m/s 水平运动的 4 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 85 m/s 继续向前运动。求 1 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 4 kgu = 36 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 85 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1300 kg 的汽车撞上一辆停放的 1200 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 9.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1300 kgm₂ = 1200 kgd = 9.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.2 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.2 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 3.4 kg 的物体连在 k = 500 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.4 kgk = 500 N/mA = 15 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管的第 3 次谐波必须为 172 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 3f₃ = 172 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 24 cm 的凸面镜前 15 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 15 cmR = 24 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 12.86 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·7.5) = 12.86 m

答案

s = 12.86 m

2.运动学

答案: y = 7.569 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

50 − ½g·t² = 17·t − ½g·t² → t = 50/17 = 2.941 s

相遇高度

y = 17·2.941 − ½·9.81·2.941² = 7.569 m

答案

y = 7.569 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1994

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·2.3) = 1.957 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.957/9.81 = 0.1994

答案

μ = 0.1994

4.牛顿定律

答案: a = 3.767 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 6.867)/12.5 = 3.767 m/s²

答案

a = 3.767 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 35.39 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·120/sin 110°) = 35.39 m/s

答案

v₀ = 35.39 m/s

6.抛体运动

答案: x = 116.3 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 40° = 23.75 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 40° = 19.93 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 19.93·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.93 + √(397.1 + 392.4))/9.81 = 4.895 s

水平距离

x = v_x·t = 23.75·4.895 = 116.3 m

答案

x = 116.3 m

7.圆周运动

答案: v = 15.97 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(80·9.81·tan 18°) = 15.97 m/s

答案

v = 15.97 m/s

(57.49 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 156.3 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·8.5²/0.6 = 11.77 + 144.5 = 156.3 N

答案

T = 156.3 N

9.功和能

答案: P = 35.51 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 6° = 820.3 N

F = 820.3 + 600 = 1420 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1420·25 = 35508 W = 35.51 kW

答案

P = 35.51 kW

10.功和能

答案: x = 22.69 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(3 − 0.3·3) = 51.5 J

最大压缩量

½kx² = 51.5 → x = √(2·51.5/2000) = 0.2269 m = 22.69 cm

答案

x = 22.69 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −111 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 4·36 = 144 kg·m/s

碰撞后的动量

144 = 3·85 + 1·v′₂

v′₂ = (144 − 255)/1 = −111 m/s

答案

v′₂ = −111 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 23.48 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·9.5) = 12.21 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·12.21/1300 = 23.48 m/s

答案

v₁ = 23.48 m/s

(84.54 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.203 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.2/2π)² = 1.203 m

答案

L = 1.203 m

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.819 m/s

角频率

ω = √(500/3.4) = 12.13 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.15·12.13 = 1.819 m/s

答案

v_max = 1.819 m/s

15.波、声与光学

答案: L = 1.496 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/172 = 1.994 m

长度

L = nλ/4 = 3·1.994/4 = 1.496 m

答案

L = 1.496 m

16.波、声与光学

答案: d_i = −6.667 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = −R/2 = −12 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/15

d_i = −6.667 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −6.667 cm

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