物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 40 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 40 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 30 kg 的雪橇被一根与水平方向成 20° 向上的绳子以 190 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 30 kgF = 190 Nθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 10 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 40 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 22 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 4 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 22 m/sθ = 60°h_roof = 4 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.3 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 3.3 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个 0.2 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.2 kgr = 0.7 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 16 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 25°μ = 0.35d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 2 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 23 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 3.5 kgh = 23 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 20 m/s 撞到墙上，并以 7 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 20 m/sv_out = 7 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 20 N/m 弹簧上的 2.6 kg 物体在无摩擦表面上以 10 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 9 cm 时的速度 v。

m = 2.6 kgk = 20 N/mA = 10 cmx = 9 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 0.4 s，振幅为 17 cm。它从平衡位置运动到位移 8.5 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 0.4 sA = 17 cmx = 8.5 cm

t = s

15.波、声与光学中等

光在甘油（n = 1.47）中向与水（n = 1.33）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.47n₂ = 1.33

θ_c = °

16.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.2 mm 的两条缝。在 2 m 外的屏上，第 2 条亮条纹距中央条纹 10.64 mm。求波长 λ。

d = 0.2 mmL = 2 my₂ = 10.64 mmm = 2

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: s = 25 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·4.5) = 25 m

答案

s = 25 m

2.运动学

答案: h_max = 634.7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 40·2.5 = 100 m/s

h₁ = ½·40·2.5² = 125 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 100²/(2·9.81) = 509.7 m

h_max = 125 + 509.7 = 634.7 m

答案

h_max = 634.7 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.658 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 190·sin 20° = 229.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 178.5 − 68.79

a = 109.7/30 = 3.658 m/s²

答案

a = 3.658 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.066 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 9.81)/16 = 3.066 m/s²

答案

a = 3.066 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 153.3 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 35° = 32.77 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 35° = 22.94 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·22.94/9.81 = 4.677 s

水平距离

x = v_x·t = 32.77·4.677 = 153.3 m

答案

x = 153.3 m

6.抛体运动

答案: x = 40.28 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 11 m/s, v_y = 19.05 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

4 = 19.05·t − 4.905·t²

t = (19.05 + √(19.05² − 2·9.81·4))/9.81 = 3.662 s

水平距离

x = v_x·t = 11·3.662 = 40.28 m

答案

x = 40.28 m

7.圆周运动

答案: n = 30.06 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·3.3)) = 3.148 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 30.06 rpm

答案

n = 30.06 rpm

8.圆周运动

答案: T = 14.03 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.2·9.81 + 0.2·6.5²/0.7 = 1.962 + 12.07 = 14.03 N

答案

T = 14.03 N

9.功和能

答案: W_f = 24.89 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.9063 = 4.445 N

F = μN = 0.35·4.445 = 1.556 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.556·16 = 24.89 J

答案

W_f = 24.89 J

10.功和能

答案: x = 25.57 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.3·2.5) = 49.05 J

最大压缩量

½kx² = 49.05 → x = √(2·49.05/1500) = 0.2557 m = 25.57 cm

答案

x = 25.57 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 621.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.23) = 2.124 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 3.5)·2.124/0.012 = 621.7 m/s

答案

v = 621.7 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 810 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(7 + 20) = 16.2 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 16.2/0.02 = 810 N

答案

F_avg = 810 N

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.1209 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(20/2.6) = 2.774 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 2.774·√(0.1² − 0.09²) = 0.1209 m/s

答案

v = 0.1209 m/s

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.03333 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/0.4 = 15.71 rad/s

求解时间

0.5 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.5) = 0.5236 rad

t = 0.5236/15.71 = 0.03333 s

答案

t = 0.03333 s

15.波、声与光学

答案: θ_c = 64.79 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/1.47 = 0.9048

临界角

θc = arcsin(0.9048) = 64.79°

答案

θ_c = 64.79°

16.波、声与光学

答案: λ = 532 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.01064·0.0002/(2·2) = 5.32 × 10⁻⁷ m = 532 nm

答案

λ = 532 nm

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