物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 30 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 30 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.8 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 90 N 的水平力拉前面 1 kg 的物块；10 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 1 kgF = 90 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 30 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 20 m/sθ = 25°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 80 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 80 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.15 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 5 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.15 kgk = 1500 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 4.5 mL = 1 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 18 m/s 行驶的 600 kg 汽车撞上一辆静止的 1300 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 600 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 1.8 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 35°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 4.5 kgL = 1.8 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.7 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 2.4 kg 的物体连在 k = 440 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 18 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.4 kgk = 440 N/mA = 18 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 1.5 m。声速为 343 m/s。求其第 7 次谐波的频率 f₇。

v = 343 m/sn = 7L = 1.5 m

f₇ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.5 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y₂。

λ = 500 nmd = 0.15 mmL = 1.5 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 10 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·30/6 = 10 s

答案

t = 10 s

此时警车的速度为 2v = 60 m/s。

2.运动学

答案: d = 15.12 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 617.4 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·617.4))/(2·4.905) = 1.756 s

深度

d = ½·9.81·1.756² = 15.12 m

答案

d = 15.12 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.923 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答案

a = 1.923 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 6.71 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (90 − 16.19)/11 = 6.71 m/s²

答案

a = 6.71 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 5.297 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 60° = 15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 60° = 25.98 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·25.98/9.81 = 5.297 s

答案

t = 5.297 s

6.抛体运动

答案: x = 63.09 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 25° = 18.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 25° = 8.452 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 8.452·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.452 + √(71.44 + 588.6))/9.81 = 3.48 s

水平距离

x = v_x·t = 18.13·3.48 = 63.09 m

答案

x = 63.09 m

7.圆周运动

答案: v_max = 17.72 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·80) = 17.72 m/s

答案

v_max = 17.72 m/s (63.78 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.801 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

答案

v_min = 2.801 m/s

9.功和能

答案: h = 1.274 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·1500·0.05² = 1.875 J

高度

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 1.875/1.472 = 1.274 m

答案

h = 1.274 m

10.功和能

答案: v = 9.238 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(4.5 − 0.15·1) = 85.35 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.35) = 9.238 m/s

答案

v = 9.238 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 66505 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·18/1900 = 5.684 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·600·18² = 97200 J

K_after = ½·1900·5.684² = 30695 J

损失的能量

ΔK = 97200 − 30695 = 66505 J

答案

ΔK = 66505 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v = 950.2 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 35°) = 0.3255 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.3255) = 2.527 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.512·2.527/0.012 = 950.2 m/s

答案

v = 950.2 m/s

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.7181 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.7/2π)² = 0.7181 m

答案

L = 0.7181 m

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 2.437 m/s

角频率

ω = √(440/2.4) = 13.54 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.18·13.54 = 2.437 m/s

答案

v_max = 2.437 m/s

15.波、声与光学

答案: f₇ = 400.2 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·1.5/7 = 0.8571 m

频率

f = v/λ = 343/0.8571 = 400.2 Hz

答案

f₇ = 400.2 Hz

16.波、声与光学

答案: y₂ = 10 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·1.5/(0.15 × 10⁻³) = 5 mm

第 2 条条纹

y₂ = 2·5 = 10 mm

答案

y₂ = 10 mm

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