物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.3 s，之后汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 1.3 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 4 s，然后匀速行驶 19 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 4 st₂ = 19 sa₃ = −2.5 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 25° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 4.5 m/s 的速度开始沿 25° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 4.5 m/sθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 19 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 105 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 105 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 0.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 11.6 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 4 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 0.5 kgh = 11.6 mR = 4 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 30°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 0.5 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

在 20° 斜坡底部有一根刚度为 5000 N/m 的弹簧，它顶着一个 2 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.2。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 2 kgk = 5000 N/mx = 20 cmθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一个以 37 m/s 水平运动的 6 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 53 m/s 继续向前运动。求 3 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 6 kgu = 37 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 53 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 1.3 m 的轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 3 kgL = 1.3 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.2 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.2 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一颗以 450 m/s 运动的 20 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 3 kg 木块中。木块连在一根 k = 800 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 20 gv = 450 m/sM = 3 kgk = 800 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 10 m 处的声级为 95 dB。忽略吸收和反射，求 100 m 处的声级 β₂。

β₁ = 95 dBr₁ = 10 mr₂ = 100 m

β₂ = dB

16.波、声与光学困难

波长为 650 nm 的光通过一条宽 0.2 mm 的单缝。求第 1 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₁。

λ = 650 nma = 0.2 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 32.89 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.3 = 18.06 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·6.5) = 14.84 m

合计

d = 18.06 + 14.84 = 32.89 m

答案

d = 32.89 m

2.运动学

答案: t = 24.6 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·4 = 4 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 4/2.5 = 1.6 s

总时间

t = 4 + 19 + 1.6 = 24.6 s

答案

t = 24.6 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.146 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

答案

a = 4.146 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 1.486 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 25° + 0.3·cos 25°) = 6.813 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 4.5²/(2·6.813) = 1.486 m

答案

d = 1.486 m

5.抛体运动

答案: x = 90.35 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 40° = 22.98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 40° = 19.28 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·19.28/9.81 = 3.931 s

水平距离

x = v_x·t = 22.98·3.931 = 90.35 m

答案

x = 90.35 m

6.抛体运动

答案: x = 51.11 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 50° = 12.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 50° = 14.55 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 14.55·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.55 + √(211.8 + 490.5))/9.81 = 4.185 s

水平距离

x = v_x·t = 12.21·4.185 = 51.11 m

答案

x = 51.11 m

7.圆周运动

答案: v_max = 17.58 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·105) = 17.58 m/s

答案

v_max = 17.58 m/s (63.28 km/h)

8.圆周运动

答案: N_bottom = 33.35 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·11.6 = 227.6 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 0.5·227.6/4 + 4.905 = 33.35 N

答案

N_bottom = 33.35 N

9.功和能

答案: T = 12.44 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 30°) = 1.314 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·1.314/0.5 = 12.44 N

答案

T = 12.44 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 12.44 N。

10.功和能

答案: d = 9.617 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·5000·0.2² = 100 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 100/(19.62·(0.342 + 0.2·0.9397)) = 9.617 m

答案

d = 9.617 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 21 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 6·37 = 222 kg·m/s

碰撞后的动量

222 = 3·53 + 3·v′₂

v′₂ = (222 − 159)/3 = 21 m/s

答案

v′₂ = 21 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 918.5 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.3·(1 − cos 40°) = 0.3041 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.3041) = 2.443 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.008·2.443/0.008 = 918.5 m/s

答案

v = 918.5 m/s

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.203 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.2/2π)² = 1.203 m

答案

L = 1.203 m

14.弹簧与单摆

答案: A = 18.31 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.02·450/3.02 = 2.98 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(800/3.02) = 16.28 rad/s

振幅

A = V/ω = 2.98/16.28 = 0.1831 m = 18.31 cm

答案

A = 18.31 cm

15.波、声与光学

答案: β₂ = 75 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (10/100)² = 0.01

新的声级

β₂ = 95 + 10·log₁₀(0.01) = 75 dB

答案

β₂ = 75 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 0.1862 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.00325

θ = 0.1862°

答案

θ₁ = 0.1862°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics