物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 60 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 60 km/ht_r = 1 sa = −4 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 11 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 50 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 50 kgθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 7 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 7 m/sθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 24 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 39 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 28 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 39 m/sθ = 55°h_roof = 28 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 120 km/h 通过半径为 300 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 300 mv = 120 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个 1 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 9 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1 kgr = 0.7 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 30°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 3 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 13.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 3 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 13.5 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 21 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 21 m/sv_out = 19 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 80 N/m 弹簧上的 3.3 kg 物体在无摩擦表面上以 5 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 1 cm 时的速度 v。

m = 3.3 kgk = 80 N/mA = 5 cmx = 1 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.4 kg 的物体连在 k = 210 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 8 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.4 kgk = 210 N/mA = 8 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 5 cm 的薄会聚透镜前 18 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 18 cmf = 5 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

一个衍射光栅每毫米有 1200 条刻线。波长为 532 nm 的光垂直照射在它上面。能看到的最高级亮极大是多少级 m_max？

N = 1200 mm⁻¹λ = 532 nm

m_max =

3溶液

1.运动学

答案: d = 51.39 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 16.67·1 = 16.67 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·4) = 34.72 m

合计

d = 16.67 + 34.72 = 51.39 m

答案

d = 51.39 m

2.运动学

答案: t = 3.431 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·20))/9.81 = 3.431 s

答案

t = 3.431 s

3.牛顿定律

答案: F = 245.4 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 127 + 118.4 = 245.4 N

答案

F = 245.4 N

4.牛顿定律

答案: d = 7.027 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.1·cos 15°) = 3.487 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·3.487) = 7.027 m

答案

d = 7.027 m

5.抛体运动

答案: H = 3.434 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 20° = 22.55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 20° = 8.208 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 8.208²/(2·9.81) = 3.434 m

答案

H = 3.434 m

6.抛体运动

答案: x = 122.3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 22.37 m/s, v_y = 31.95 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

28 = 31.95·t − 4.905·t²

t = (31.95 + √(31.95² − 2·9.81·28))/9.81 = 5.469 s

水平距离

x = v_x·t = 22.37·5.469 = 122.3 m

答案

x = 122.3 m

7.圆周运动

答案: θ = 20.68 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 33.33²/(300·9.81) = 0.3775

θ = 20.68°

答案

θ = 20.68°

8.圆周运动

答案: T = 125.5 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9.81 + 1·9²/0.7 = 9.81 + 115.7 = 125.5 N

答案

T = 125.5 N

9.功和能

答案: T = 12.44 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 30°) = 7.886 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·7.886/3 = 12.44 N

答案

T = 12.44 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 12.44 N。

10.功和能

答案: N = 78.48 N

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(13.5 − 6) = 147.2 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·147.2/3 − 19.62 = 78.48 N

答案

N = 78.48 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −2.077 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 4)/(2.5 + 4)·9 = −2.077 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 4)·9 = 6.923 m/s

答案

v′₁ = −2.077 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: J = 6 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(19 + 21) = 6 N·s

答案

J = 6 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.2412 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(80/3.3) = 4.924 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 4.924·√(0.05² − 0.01²) = 0.2412 m/s

答案

v = 0.2412 m/s

14.弹簧与单摆

答案: E = 0.672 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(210/3.4) = 7.859 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·210·0.08² = 0.672 J

答案

E = 0.672 J

15.波、声与光学

答案: d_i = 6.923 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/18

d_i = 6.923 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 6.923 cm

16.波、声与光学

答案: m_max = 1

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/1200 mm = 0.8333 µm

最高级次

m ≤ d/λ = 0.8333 µm/0.532 µm = 1.566 → m_max = 1

答案

m_max = 1

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