物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 16 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 8.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 18 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 25 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 95 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 95 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 210 m 的弯道倾斜 25°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 210 mθ = 25°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 20 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 35°μ = 0.4d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 100 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 8 m 后的速度 v。

m = 8 kgF = 100 Nθ = 20°μ = 0.3d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 17 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.5 kgv_in = 17 m/sv_out = 16 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.9 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 1.2 kg 的物体连在 k = 400 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 7 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 1.2 kgk = 400 N/mA = 7 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 15 cm 的薄发散透镜前 10 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 10 cmf = −15 cm

m =

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 20 cm 的凹面镜前 6 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 6 cmR = 20 cm

m =

3溶液

1.运动学

答案: s = 40 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·5) = 40 m

答案

s = 40 m

2.运动学

答案: t = 3.549 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·5))/9.81 = 3.549 s

答案

t = 3.549 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.923 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答案

a = 1.923 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 41.4 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 16.68)/14.5 = 2.909 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8.5·2.909 + 16.68 = 41.4 N

答案

T = 41.4 N

5.抛体运动

答案: t = 1.551 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 25° = 16.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 25° = 7.607 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·7.607/9.81 = 1.551 s

答案

t = 1.551 s

6.抛体运动

答案: t = 3.411 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 15° = 24.15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 15° = 6.47 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 6.47·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.47 + √(41.87 + 686.7))/9.81 = 3.411 s

答案

t = 3.411 s

7.圆周运动

答案: v_max = 23.65 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·95) = 23.65 m/s

答案

v_max = 23.65 m/s (85.13 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 17.34 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(210·9.81·0.1507/1.033) = 17.34 m/s

答案

v_min = 17.34 m/s

(62.41 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 64.29 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.8192 = 8.036 N

F = μN = 0.4·8.036 = 3.214 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 3.214·20 = 64.29 J

答案

W_f = 64.29 J

10.功和能

答案: v = 10.1 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 26.84 N

μ·mg·cos θ = 22.12 N

功–能关系

½mv² = (100 − 48.97)·8 = 408.3 J

v = √(2·408.3/8) = 10.1 m/s

答案

v = 10.1 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.909 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 1)/(4.5 + 1)·3 = 1.909 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1)·3 = 4.909 m/s

答案

v′₂ = 4.909 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 16.5 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(16 + 17) = 16.5 N·s

答案

J = 16.5 N·s

13.弹簧与单摆

答案: T = 1.903 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.9/9.81) = 1.903 s

答案

T = 1.903 s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 23.33 m/s²

角频率

ω = √(400/1.2) = 18.26 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.07·18.26² = 23.33 m/s²

答案

a_max = 23.33 m/s²

15.波、声与光学

答案: m = 0.6

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/10

d_i = −6 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −(−6)/10 = 0.6

答案

m = 0.6

16.波、声与光学

答案: m = 2.5

焦距

f = R/2 = 10 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/6

d_i = −15 cm

放大率

m = −(−15)/6 = 2.5

答案

m = 2.5

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