物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 15 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 7 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 10 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 7 m/sd = 10 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 10 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 10 m/sθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 30° 的角度抛出，落在 75 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 30°R = 75 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 16 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 45 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 45 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 150 m 的弯道倾斜 25°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 150 mθ = 25°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 20 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.35d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 13 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 2.5 kgh = 13 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用长 1 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 2 kgL = 1 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 150 N/m 弹簧上的 0.3 kg 物体被沿正方向拉开 13 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.5 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 0.3 kgk = 150 N/mA = 13 cmt = 0.5 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.2 s，振幅为 17 cm。它从最大位移 17 cm 处运动到位移 5.1 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.2 sA = 17 cmx = 5.1 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 0.2 W 的声功率。求 20 m 处的声强级 β。

P = 0.2 Wr = 20 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 10 m/s 的速度远离的汽车发射 40 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 44.44 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·4.5) = 44.44 m

答案

s = 44.44 m

2.运动学

答案: t = 4.768 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.768 s

答案

t = 4.768 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2497

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 7²/(2·10) = 2.45 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.45/9.81 = 0.2497

答案

μ = 0.2497

4.牛顿定律

答案: d = 14.34 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.1·cos 15°) = 3.487 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 10²/(2·3.487) = 14.34 m

答案

d = 14.34 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 29.15 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·75/sin 60°) = 29.15 m/s

答案

v₀ = 29.15 m/s

6.抛体运动

答案: x = 52.59 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 25° = 14.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 25° = 6.762 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 6.762·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.762 + √(45.72 + 784.8))/9.81 = 3.627 s

水平距离

x = v_x·t = 14.5·3.627 = 52.59 m

答案

x = 52.59 m

7.圆周运动

答案: v_max = 17.58 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·45) = 17.58 m/s

答案

v_max = 17.58 m/s (63.28 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 18.93 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(150·9.81·0.2414/0.9908) = 18.93 m/s

答案

v_min = 18.93 m/s

(68.16 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 526 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.766 = 75.15 N

F = μN = 0.35·75.15 = 26.3 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 26.3·20 = 526 J

答案

W_f = 526 J

10.功和能

答案: x = 11.38 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(2 − 0.1·3.5) = 32.37 J

最大压缩量

½kx² = 32.37 → x = √(2·32.37/5000) = 0.1138 m = 11.38 cm

答案

x = 11.38 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 334.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.13) = 1.597 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 2.5)·1.597/0.012 = 334.3 m/s

答案

v = 334.3 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 436.2 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 20°) = 0.06031 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.06031) = 1.088 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.005·1.088/0.005 = 436.2 m/s

答案

v = 436.2 m/s

13.弹簧与单摆

答案: x = 2.388 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(150/0.3) = 22.36 rad/s

ω·t = 22.36·0.5 = 11.18 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(11.18) = 2.388 cm

答案

x = 2.388 cm

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.2418 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.2 = 5.236 rad/s

求解时间

0.3 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.3) = 1.266 rad

t = 1.266/5.236 = 0.2418 s

答案

t = 0.2418 s

15.波、声与光学

答案: β = 76 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 3.979 × 10⁻⁵ W/m²

难度

β = 10·log₁₀(3.979 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 76 dB

答案

β = 76 dB

16.波、声与光学

答案: f″ = 37734 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 − 10)/343 = 38834 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 10) = 37734 Hz

答案

f″ = 37734 Hz

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