物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

质量为 5 kg 和 2.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

倾角为 40° 的斜面上有一个 4 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 9 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 9 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 35 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 9 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 35 m/sθ = 50°h_roof = 9 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1000 kg 的汽车以 7 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 95 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1000 kgv = 7 m/sr = 95 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.3 kgr = 0.9 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 2° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 700 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 2°F_r = 700 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0.3k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 36 m/s 水平运动的 20 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。12 kg 的碎片以 48 m/s 继续向前运动。求 8 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 20 kgu = 36 m/sm₁ = 12 kgv′₁ = 48 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1900 kg 的汽车撞上一辆停放的 1900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 21 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1900 kgm₂ = 1900 kgd = 21 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 120 N/m 弹簧上的 1.9 kg 物体被沿正方向拉开 3 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.3 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 1.9 kgk = 120 N/mA = 3 cmt = 1.3 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一颗以 150 m/s 运动的 10 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 0.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1100 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 10 gv = 150 m/sM = 0.5 kgk = 1100 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 2 W 的声功率。求 3 m 处的声强级 β。

P = 2 Wr = 3 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.5，包层 n₂ = 1.49。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θ_a。

n₁ = 1.5n₂ = 1.49n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 40 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·5) = 40 m

答案

s = 40 m

2.运动学

答案: d = 12.01 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 548.8 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·548.8))/(2·4.905) = 1.565 s

深度

d = ½·9.81·1.565² = 12.01 m

答案

d = 12.01 m

3.牛顿定律

答案: T = 32.7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (5 − 2.5)·9.81/(5 + 2.5) = 3.27 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 2.5·(9.81 + 3.27) = 32.7 N

答案

T = 32.7 N

4.牛顿定律

答案: a = 4.851 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 88.29 N

m₁·g·sin θ = 25.22 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (88.29 − 25.22 − 0)/13 = 4.851 m/s²

答案

a = 4.851 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 57.82 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 50° = 15.43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 50° = 18.39 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·18.39/9.81 = 3.748 s

水平距离

x = v_x·t = 15.43·3.748 = 57.82 m

答案

x = 57.82 m

6.抛体运动

答案: x = 114.9 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 22.5 m/s, v_y = 26.81 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

9 = 26.81·t − 4.905·t²

t = (26.81 + √(26.81² − 2·9.81·9))/9.81 = 5.107 s

水平距离

x = v_x·t = 22.5·5.107 = 114.9 m

答案

x = 114.9 m

7.圆周运动

答案: N = 9294 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1000·9.81 − 1000·7²/95 = 9810 − 515.8 = 9294 N

答案

N = 9294 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T = 5.943 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·3²/0.9 = 2.943 + 3 = 5.943 N

答案

T = 5.943 N

9.功和能

答案: P = 10.42 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 2° = 342.4 N

F = 342.4 + 700 = 1042 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1042·10 = 10424 W = 10.42 kW

答案

P = 10.42 kW

10.功和能

答案: x = 19.81 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(2 − 0.3·4) = 19.62 J

最大压缩量

½kx² = 19.62 → x = √(2·19.62/1000) = 0.1981 m = 19.81 cm

答案

x = 19.81 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 18 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 20·36 = 720 kg·m/s

碰撞后的动量

720 = 12·48 + 8·v′₂

v′₂ = (720 − 576)/8 = 18 m/s

答案

v′₂ = 18 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 35.16 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·21) = 17.58 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3800·17.58/1900 = 35.16 m/s

答案

v₁ = 35.16 m/s

(126.6 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.1877 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(120/1.9) = 7.947 rad/s

ω·t = 7.947·1.3 = 10.33 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.03·7.947·sin(10.33) = 0.1877 m/s

答案

v = 0.1877 m/s

14.弹簧与单摆

答案: A = 6.333 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.01·150/0.51 = 2.941 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1100/0.51) = 46.44 rad/s

振幅

A = V/ω = 2.941/46.44 = 0.06333 m = 6.333 cm

答案

A = 6.333 cm

15.波、声与光学

答案: β = 102.5 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 0.01768 W/m²

难度

β = 10·log₁₀(0.01768/10⁻¹²) = 102.5 dB

答案

β = 102.5 dB

16.波、声与光学

答案: θ_a = 9.957 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.49/1.5 = 0.9933 → θc = 83.38°

数值孔径

NA = √(1.5² − 1.49²) = 0.1729

接收角

θ_a = arcsin(0.1729) = 9.957°

答案

θ_a = 9.957°

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