物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?10

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 36 km/ha = −4 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
v₀ = 17 m/s40 m

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 17 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
7.5 kg7 kg

质量为 7.5 kg 和 7 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。 求物体的加速度 a。

m1 = 7.5 kgm2 = 7 kgg = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 4.5 kg4.5 kgμ = 0.1

水平桌面上一个 4.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 4.5 kgm2 = 4.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 28 m/s30°x = ?

一个球 从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 28 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
h = 45 mv0​ = 16 m/s40°v = ?

一个球从 45 m 高的悬崖顶部以 16 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求它落地时的速度 v。

v₀ = 16 m/sθ = 40°h = 45 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
7.圆周运动中等
r = 100 mvmax​ = ?

一辆汽车通过半径为 100 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。

r = 100 mμs = 0.5g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
θ = 18°指向圆心vmax​ = ?

一个半径为 150 m 的弯道倾斜 18°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。 求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 vmax。

r = 150 mθ = 18°μs = 0.4g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
9.功和能中等
45°L = 3 m5 kg

一个 5 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 45°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 5 kgL = 3 mθ = 45°g = 9.81 m/s²
T = N
10.功和能困难
h = 2 mL = 1 mμ = 0.25k = 2500 N/m

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。 求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
2 kgv = ?12 gh = 16 cm

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 16 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 2 kgh = 16 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
12.动量与碰撞困难
13 m/s15 m/s

一个 0.45 kg 的小球以 13 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.45 kgvin = 13 m/svout = 15 m/sΔt = 10 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
t (s)x (cm)1.25 s

一个连在 k = 370 N/m 弹簧上的 2.6 kg 物体被沿正方向拉开 12 cm，在 t = 0 时由静止释放。 求 t = 1.25 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.6 kgk = 370 N/mA = 12 cmt = 1.25 s
x = cm
14.弹簧与单摆困难
t (s)x (cm)t = ?3.2

一个物体做简谐振动，周期为 1.9 s，振幅为 8 cm。 它从平衡位置运动到位移 3.2 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.9 sA = 8 cmx = 3.2 cm
t = s
15.波、声与光学中等
Pβ = ?r = 2 m

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 2 W 的声功率。求 2 m 处的声强级 β。

P = 2 Wr = 2 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
16.波、声与光学困难
λ = 633 nmd = 0.3 mmL = 1.5 my = ?

波长为 633 nm 的光照射到相距 0.3 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.5 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y2。

λ = 633 nmd = 0.3 mmL = 1.5 mm = 2
y2 = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/4 = 2.5 s

答案

t = 2.5 s
2.运动学

答案: t = 5.073 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 17·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 17·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (17 + √(17² + 2·9.81·40))/9.81 = 5.073 s

答案

t = 5.073 s
3.牛顿定律

答案: a = 0.3383 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7.5 − 7)·9.81/(7.5 + 7) = 0.3383 m/s²

答案

a = 0.3383 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 4.415 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (44.15 − 4.415)/9 = 4.415 m/s²

答案

a = 4.415 m/s²
5.抛体运动

答案: x = 69.21 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 28·cos 30° = 24.25 m/s
vy = v0·sin θ = 28·sin 30° = 14 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·14/9.81 = 2.854 s

水平距离

x = vx·t = 24.25·2.854 = 69.21 m

答案

x = 69.21 m
6.抛体运动

答案: v = 33.75 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 16·cos 40° = 12.26 m/s
vy0 = 16·sin 40° = 10.28 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

vy = √(10.28² + 2·9.81·45) = 31.44 m/s

落水速度

v = √(12.26² + 31.44²) = 33.75 m/s

答案

v = 33.75 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: vmax = 22.15 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·100) = 22.15 m/s

答案

vmax = 22.15 m/s (79.73 km/h)
8.圆周运动

答案: vmax = 35.02 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r
N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(150·9.81·0.6894/0.8274) = 35.02 m/s

答案

vmax = 35.02 m/s
(126.1 km/h)
9.功和能

答案: T = 77.78 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 45°) = 17.24 m²/s²

最低点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N
T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·17.24/3 = 77.78 N

答案

T = 77.78 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 77.78 N。

10.功和能

答案: v = 5.86 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(2 − 0.25·1) = 8.584 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.75) = 5.86 m/s

答案

v = 5.86 m/s
11.动量与碰撞

答案: v = 297.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.16) = 1.772 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 2)·1.772/0.012 = 297.1 m/s

答案

v = 297.1 m/s
12.动量与碰撞

答案: Favg = 1260 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(15 + 13) = 12.6 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 12.6/0.01 = 1260 N

答案

Favg = 1260 N
13.弹簧与单摆

答案: x = −8.392 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(370/2.6) = 11.93 rad/s
ω·t = 11.93·1.25 = 14.91 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 12·cos(14.91) = −8.392 cm

答案

x = −8.392 cm
14.弹簧与单摆

答案: t = 0.1244 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.9 = 3.307 rad/s

求解时间

0.4 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.4) = 0.4115 rad
t = 0.4115/3.307 = 0.1244 s

答案

t = 0.1244 s
15.波、声与光学

答案: β = 106 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 0.03979 W/m²

难度

β = 10·log₁₀(0.03979/10⁻¹²) = 106 dB

答案

β = 106 dB
16.波、声与光学

答案: y2 = 6.33 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·1.5/(0.3 × 10⁻³) = 3.165 mm

第 2 条条纹

y2 = 2·3.165 = 6.33 mm

答案

y2 = 6.33 mm

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