物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)5.714 s20

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −3.5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
v₀ = 8 m/s30 m

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 8 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 45°a = ?m = 20 kg

一个 20 kg 的物块沿倾角为 45° 的光滑斜面下滑。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 9.5 kg3 kg无摩擦

水平桌面上一个 9.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 9.5 kgm2 = 3 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = ?55°R = 85 m

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 85 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v0。

θ = 55°R = 85 mg = 9.81 m/s²
v0 = m/s
6.抛体运动困难
h = 10 mv0​ = 19 m/s20°H = ?

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 19 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 19 m/sθ = 20°h = 10 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.圆周运动中等
r = 95 mvmax​ = ?

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 95 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 vmax 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 95 mg = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
R = 7.5 mh = ?

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 7.5 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 hmin 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 7.5 mv₀ = 0
hmin = m
9.功和能中等
30 km/h

一辆汽车在水平路面上以 30 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。求制动距离 d。

v = 30 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²
d = m
10.功和能困难
h = 16 mR = 4 mN = ?

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 16 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。 求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 16 mR = 4 mg = 9.81 m/s²
N = N
11.动量与碰撞中等
3.5 kgv = ?10 gh = 24 cm

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 24 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 3.5 kgh = 24 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
12.动量与碰撞困难
1800 kg15 m/s1000 kg10 m/sθ = ?

在一个十字路口，一辆以 15 m/s 向东行驶的 1800 kg 汽车与一辆以 10 m/s 向北行驶的 1000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。 求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m1 = 1800 kgv1 = 15 m/s (E)m2 = 1000 kgv2 = 10 m/s (N)
θ = °
13.弹簧与单摆中等
L = ?

要使单摆的周期为 0.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 0.9 sg = 9.81 m/s²
L = m
14.弹簧与单摆困难
mk = 80 N/mA = 11 cmx = 7 cm

一个连在 k = 80 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 11 cm 的振幅振动。 求物体距平衡位置 7 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 80 N/mA = 11 cmx = 7 cm
U = J
15.波、声与光学中等
FFdo​ = 40 cmf = 8 cm

一个物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 40 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

do = 40 cmf = 8 cm
m =
16.波、声与光学困难
λ = 450 nmd = 0.15 mmL = 1 my = ?

波长为 450 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求从中央亮条纹到第 4 条亮条纹的距离 y4。

λ = 450 nmd = 0.15 mmL = 1 mm = 4
y4 = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 57.14 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3.5) = 57.14 m

答案

s = 57.14 m
2.运动学

答案: t = 3.42 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 8·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 8·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (8 + √(8² + 2·9.81·30))/9.81 = 3.42 s

答案

t = 3.42 s
3.牛顿定律

答案: a = 6.937 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答案

a = 6.937 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 22.37 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (29.43 − 0)/12.5 = 2.354 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 9.5·2.354 + 0 = 22.37 N

答案

T = 22.37 N
5.抛体运动

答案: v0 = 29.79 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·85/sin 110°) = 29.79 m/s

答案

v0 = 29.79 m/s
6.抛体运动

答案: H = 12.15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

vy = 19·sin 20° = 6.498 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = vy²/(2g) = 6.498²/(2·9.81) = 2.152 m

离地面的高度

H = 10 + 2.152 = 12.15 m

答案

H = 12.15 m
7.圆周运动

答案: vmax = 30.53 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·95) = 30.53 m/s

答案

vmax = 30.53 m/s
(109.9 km/h)
8.圆周运动

答案: hmin = 18.75 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·7.5 = 18.75 m

答案

hmin = 18.75 m
9.功和能

答案: d = 7.079 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 30/3.6 = 8.333 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8.333²/(2·0.5·9.81) = 7.079 m

答案

d = 7.079 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: N = 58.86 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(16 − 8) = 157 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N
N = mv²/R − mg = 2·157/4 − 19.62 = 58.86 N

答案

N = 58.86 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v = 761.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.24) = 2.17 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 3.5)·2.17/0.01 = 761.7 m/s

答案

v = 761.7 m/s
12.动量与碰撞

答案: θ = 20.32 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

px = 1800·15 = 27000 kg·m/s
py = 1000·10 = 10000 kg·m/s

方向

tan θ = py/px = 0.3704 → θ = 20.32°

答案

θ = 20.32°
13.弹簧与单摆

答案: L = 0.2013 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(0.9/2π)² = 0.2013 m

答案

L = 0.2013 m
14.弹簧与单摆

答案: U = 0.196 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·80·0.11² = 0.484 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·80·0.07² = 0.196 J

答案

U = 0.196 J
15.波、声与光学

答案: m = −0.25

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/8 − 1/40
di = 10 cm
FF40 cmf = 8 cm

放大率

m = −di/do = −10/40 = −0.25

答案

m = −0.25
16.波、声与光学

答案: y4 = 12 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·1/(0.15 × 10⁻³) = 3 mm

第 4 条条纹

y4 = 4·3 = 12 mm

答案

y4 = 12 mm

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