物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)4.938 s22.22

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −4.5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
v₀ = 13 m/s15 m

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 13 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。

v₀ = 13 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
θ = 25°a = ?m = 14 kg

一个 14 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 14 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 1.5 kg2.5 kgμ = 0.3

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 1.5 kgm2 = 2.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = ?60°R = 130 m

一个球从水平地面以与水平方向成 60° 的角度抛出，落在 130 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v0。

θ = 60°R = 130 mg = 9.81 m/s²
v0 = m/s
6.抛体运动困难
h = 45 mv0​ = 27 m/s20°x = ?

一个球 从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 27 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
r = 100 mvmax​ = ?

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 100 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 vmax 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 100 mg = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
r = 0.7 mv = 6.5 m/s

一个 1.9 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.9 kgr = 0.7 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
25°d = 20 mμ = 0.15

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 20 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.15d = 20 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.功和能困难
F = 260 N35°μ = 0.320 kg

一个 20 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 260 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 3 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 260 Nθ = 35°μ = 0.3d = 3 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
800 kg22 m/s1200 kg

一辆以 22 m/s 行驶的 800 kg 汽车撞上一辆静止的 1200 kg 汽车，两车卡在一起。 原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m1 = 800 kgv1 = 22 m/sm2 = 1200 kgv2 = 0
ΔK/K = %
12.动量与碰撞困难
29 m/s15 m/s

一个 0.35 kg 的小球以 29 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgvin = 29 m/svout = 15 m/sΔt = 40 ms
J = N·s
13.弹簧与单摆中等
0.4 kgk = 160 N/mA = 19 cmx = 4 cm

一个连在 k = 160 N/m 弹簧上的 0.4 kg 物体在无摩擦表面上以 19 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 4 cm 时的速度 v。

m = 0.4 kgk = 160 N/mA = 19 cmx = 4 cm
v = m/s
14.弹簧与单摆困难
mk = 40 N/mA = 20 cmx = 16 cm

一个连在 k = 40 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 20 cm 的振幅振动。 求物体距平衡位置 16 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 40 N/mA = 20 cmx = 16 cm
U = J
15.波、声与光学中等
FFdo​ = 20 cmf = −5 cm

一个物体位于焦距为 5 cm 的薄发散透镜前 20 cm 处。求像距 di。使用符号规定 1/f = 1/do + 1/di（发散透镜 f < 0，虚像 di < 0）。

do = 20 cmf = −5 cm
di = cm
16.波、声与光学困难
SO30 m/sf = 40 kHz

静止的传感器向以 30 m/s 的速度远离的汽车发射 40 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 fb（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 54.87 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·4.5) = 54.87 m

答案

s = 54.87 m
2.运动学

答案: hmax = 23.61 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 13²/(2·9.81) = 8.614 m

离地面的高度

hmax = 15 + 8.614 = 23.61 m

答案

hmax = 23.61 m
3.牛顿定律

答案: a = 1.479 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

答案

a = 1.479 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 11.96 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (24.53 − 4.414)/4 = 5.028 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 1.5·5.028 + 4.414 = 11.96 N

答案

T = 11.96 N
5.抛体运动

答案: v0 = 38.37 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·130/sin 120°) = 38.37 m/s

答案

v0 = 38.37 m/s
6.抛体运动

答案: x = 104.4 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 27·cos 20° = 25.37 m/s
vy = v0·sin θ = 27·sin 20° = 9.235 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 9.235·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (9.235 + √(85.28 + 882.9))/9.81 = 4.113 s

水平距离

x = vx·t = 25.37·4.113 = 104.4 m

答案

x = 104.4 m
7.圆周运动

答案: vmax = 31.32 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·100) = 31.32 m/s

答案

vmax = 31.32 m/s
(112.8 km/h)
8.圆周运动

答案: T = 133.3 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 1.9·9.81 + 1.9·6.5²/0.7 = 18.64 + 114.7 = 133.3 N

答案

T = 133.3 N
9.功和能

答案: v = 10.61 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·20·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 10.61 m/s

答案

v = 10.61 m/s
10.功和能

答案: v = 5.457 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N
mg·sin θ = 112.5 N
μ·mg·cos θ = 48.22 N

功–能关系

½mv² = (260 − 160.8)·3 = 297.7 J
v = √(2·297.7/20) = 5.457 m/s

答案

v = 5.457 m/s
11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 60 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 800·22/2000 = 8.8 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·800·22² = 193600 J
Kafter = ½·2000·8.8² = 77440 J

损失的比例

ΔK/K = 116160/193600 = 60 %

答案

ΔK/K = 60 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 15.4 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(15 + 29) = 15.4 N·s

答案

J = 15.4 N·s
13.弹簧与单摆

答案: v = 3.715 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(160/0.4) = 20 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 20·√(0.19² − 0.04²) = 3.715 m/s

答案

v = 3.715 m/s
14.弹簧与单摆

答案: U = 0.512 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·40·0.2² = 0.8 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·40·0.16² = 0.512 J

答案

U = 0.512 J
15.波、声与光学

答案: di = −4 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/(−5) − 1/20
di = −4 cm
FF20 cmf = −5 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

di = −4 cm
16.波、声与光学

答案: fb = 6434 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 − 30)/343 = 36501 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 30) = 33566 Hz

拍频

fb = |f″ − f| = 6434 Hz

答案

fb = 6434 Hz

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