物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 108 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 108 km/ht_r = 1.5 sa = −6 m/s²

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 36 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 36 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 10 kgθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 75° 的角度抛出，落在 130 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 75°R = 130 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 17 m/sθ = 50°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 105 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 105 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 110 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 110 mθ = 20°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 200 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 200 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 1 mL = 3.5 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 5 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 1 kgh = 5 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1100 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 14.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1800 kgm₂ = 1100 kgd = 14.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 350 N/m 弹簧上的 3.4 kg 物体被沿正方向拉开 13 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.7 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3.4 kgk = 350 N/mA = 13 cmt = 0.7 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.6 s，振幅为 8 cm。它从平衡位置运动到位移 6.4 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.6 sA = 8 cmx = 6.4 cm

t = s

15.波、声与光学中等

观察者以 10 m/s 的速度远离频率为 600 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

一个衍射光栅每毫米有 600 条刻线。波长为 589 nm 的光垂直照射在它上面。能看到的最高级亮极大是多少级 m_max？

N = 600 mm⁻¹λ = 589 nm

m_max =

3溶液

1.运动学

答案: d = 120 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 30·1.5 = 45 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·6) = 75 m

合计

d = 45 + 75 = 120 m

答案

d = 120 m

2.运动学

答案: t = 13.21 s

动力阶段

v₁ = 36·1.5 = 54 m/s

h₁ = ½·36·1.5² = 40.5 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (54 + √(54² + 2·9.81·40.5))/9.81 = 11.71 s

t = 1.5 + 11.71 = 13.21 s

答案

t = 13.21 s

3.牛顿定律

答案: F = 39.6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 25.39 + 14.21 = 39.6 N

答案

F = 39.6 N

4.牛顿定律

答案: a = 3.924 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 6.867)/7 = 3.924 m/s²

答案

a = 3.924 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 50.5 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·130/sin 150°) = 50.5 m/s

答案

v₀ = 50.5 m/s

6.抛体运动

答案: x = 32.73 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 50° = 10.93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 50° = 13.02 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 13.02·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.02 + √(169.6 + 98.1))/9.81 = 2.995 s

水平距离

x = v_x·t = 10.93·2.995 = 32.73 m

答案

x = 32.73 m

7.圆周运动

答案: v_max = 26.85 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·105) = 26.85 m/s

答案

v_max = 26.85 m/s (96.67 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 31.06 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(110·9.81·0.7179/0.8029) = 31.06 m/s

答案

v_max = 31.06 m/s

(111.8 km/h)

9.功和能

答案: h = 0.261 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·200·0.08² = 0.64 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 0.64/2.453 = 0.261 m

答案

h = 0.261 m

10.功和能

答案: x = 43.17 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(1 − 0.15·3.5) = 46.6 J

最大压缩量

½kx² = 46.6 → x = √(2·46.6/500) = 0.4317 m = 43.17 cm

答案

x = 43.17 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 199.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.05) = 0.9905 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 1)·0.9905/0.005 = 199.1 m/s

答案

v = 199.1 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 21.05 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·14.5) = 13.06 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·13.06/1800 = 21.05 m/s

答案

v₁ = 21.05 m/s

(75.78 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: x = 8.878 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(350/3.4) = 10.15 rad/s

ω·t = 10.15·0.7 = 7.102 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(7.102) = 8.878 cm

答案

x = 8.878 cm

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.3837 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.6 = 2.417 rad/s

求解时间

0.8 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.8) = 0.9273 rad

t = 0.9273/2.417 = 0.3837 s

答案

t = 0.3837 s

15.波、声与光学

答案: f′ = 582.5 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 10)/(343 + 0)

f′ = 582.5 Hz

答案

f′ = 582.5 Hz

16.波、声与光学

答案: m_max = 2

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/600 mm = 1.667 µm

最高级次

m ≤ d/λ = 1.667 µm/0.589 µm = 2.83 → m_max = 2

答案

m_max = 2

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