物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 7 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 7 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 10.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 19 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 10.5 m/sd = 19 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 115 N 的水平力拉前面 8 kg 的物块；7 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 8 kgF = 115 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 21 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 21 m/sθ = 50°h = 55 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.3 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.3 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一辆 5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 9 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 3 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 5 kgh = 9 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.5 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.5 kgk = 500 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从 15° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 45 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.1。求物块沿斜坡向上移动 5 m 后的速度 v。

m = 10 kgF = 45 Nθ = 15°μ = 0.1d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 25 m/s 水平运动的 14 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。4 kg 的碎片以 33 m/s 继续向前运动。求 10 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 14 kgu = 25 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 33 m/sm₂ = 10 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 30 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.4 kgv_in = 30 m/sv_out = 18 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.6 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.82 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.6 mT = 3.82 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 0.9 kg 的物体连在 k = 360 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 0.9 kgk = 360 N/mA = 15 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 2 W 的声功率。求 20 m 处的声强级 β。

P = 2 Wr = 20 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

16.波、声与光学困难

波长为 486 nm 的光垂直照射在每毫米 300 条刻线的光栅上。求第 2 级极大的角度 θ₂。

N = 300 mm⁻¹λ = 486 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 78.13 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·4) = 78.13 m

答案

s = 78.13 m

2.运动学

答案: t = 2.602 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (7 + √(7² + 2·9.81·15))/9.81 = 2.602 s

答案

t = 2.602 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2958

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 10.5²/(2·19) = 2.901 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.901/9.81 = 0.2958

答案

μ = 0.2958

4.牛顿定律

答案: T = 53.67 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (115 − 29.43)/15 = 5.705 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 7·(5.705 + 1.962) = 53.67 N

答案

T = 53.67 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: x = 79.45 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 30° = 25.98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 30° = 15 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·15/9.81 = 3.058 s

水平距离

x = v_x·t = 25.98·3.058 = 79.45 m

答案

x = 79.45 m

6.抛体运动

答案: α = 69.74 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 21·cos 50° = 13.5 m/s

v_y0 = 21·sin 50° = 16.09 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(16.09² + 2·9.81·55) = 36.58 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 36.58/13.5 → α = 69.74°

答案

α = 69.74°

7.圆周运动

答案: ω = 2.921 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.5·2.3)) = 2.921 rad/s

答案

ω = 2.921 rad/s

8.圆周运动

答案: N_bottom = 343.4 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·9 = 176.6 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 5·176.6/3 + 49.05 = 343.4 N

答案

N_bottom = 343.4 N

9.功和能

答案: h = 0.5097 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·500·0.1² = 2.5 J

高度

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 2.5/4.905 = 0.5097 m

答案

h = 0.5097 m

10.功和能

答案: v = 3.183 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 25.39 N

μ·mg·cos θ = 9.476 N

功–能关系

½mv² = (45 − 34.87)·5 = 50.67 J

v = √(2·50.67/10) = 3.183 m/s

答案

v = 3.183 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 21.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 14·25 = 350 kg·m/s

碰撞后的动量

350 = 4·33 + 10·v′₂

v′₂ = (350 − 132)/10 = 21.8 m/s

答案

v′₂ = 21.8 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 19.2 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(18 + 30) = 19.2 N·s

答案

J = 19.2 N·s

13.弹簧与单摆

答案: g = 1.623 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.6/3.82² = 1.623 m/s²

答案

g = 1.623 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: E = 4.05 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(360/0.9) = 20 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·360·0.15² = 4.05 J

答案

E = 4.05 J

15.波、声与光学

答案: β = 86 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 0.0003979 W/m²

难度

β = 10·log₁₀(0.0003979/10⁻¹²) = 86 dB

答案

β = 86 dB

16.波、声与光学

答案: θ₂ = 16.95 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 2·486 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.2916

θ = 16.95°

答案

θ₂ = 16.95°

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