物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 60 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.7 s，之后汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 60 km/ht_r = 0.7 sa = −7 m/s²

d = m

2.运动学困难

球 A 从 55 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 20 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 55 mv_0B = 20 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 150 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 25 kgF = 150 Nθ = 30°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 18 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 17 m/sθ = 15°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 125 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 125 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 170 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 170 mθ = 20°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 17 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.35d = 17 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 3.5 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 27 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.4 kgv_in = 27 m/sv_out = 11 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.5 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 0.7 kg 的物体连在 k = 340 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 18 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.7 kgk = 340 N/mA = 18 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 1 m 处的声级为 100 dB。忽略吸收和反射，求 3 m 处的声级 β₂。

β₁ = 100 dBr₁ = 1 mr₂ = 3 m

β₂ = dB

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 25 cm：透镜 1 的 f₁ = 20 cm，透镜 2 的 f₂ = 8 cm。一个物体位于透镜 1 前 12 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 20 cmf₂ = 8 cms = 25 cmd_o = 12 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 31.51 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 16.67·0.7 = 11.67 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·7) = 19.84 m

合计

d = 11.67 + 19.84 = 31.51 m

答案

d = 31.51 m

2.运动学

答案: t = 2.75 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

55 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 55/20 = 2.75 s

答案

t = 2.75 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.472 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 150·sin 30° = 170.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 129.9 − 68.1

a = 61.8/25 = 2.472 m/s²

答案

a = 2.472 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 27.33 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 22.07)/10.5 = 0.7007 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7.5·0.7007 + 22.07 = 27.33 N

答案

T = 27.33 N

5.抛体运动

答案: H = 8.257 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 45° = 12.73 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 45° = 12.73 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 12.73²/(2·9.81) = 8.257 m

答案

H = 8.257 m

6.抛体运动

答案: t = 2.962 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 15° = 16.42 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 15° = 4.4 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 4.4·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.4 + √(19.36 + 588.6))/9.81 = 2.962 s

答案

t = 2.962 s

7.圆周运动

答案: v_max = 29.3 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·125) = 29.3 m/s

答案

v_max = 29.3 m/s (105.5 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 28.34 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(170·9.81·0.436/0.9055) = 28.34 m/s

答案

v_max = 28.34 m/s

(102 km/h)

9.功和能

答案: v = 8.104 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·17·(0.5 − 0.35·0.866)) = 8.104 m/s

答案

v = 8.104 m/s

10.功和能

答案: x = 54.7 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(3.5 − 0.1·4.5) = 74.8 J

最大压缩量

½kx² = 74.8 → x = √(2·74.8/500) = 0.547 m = 54.7 cm

答案

x = 54.7 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 2.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 4)/(2 + 4)·4 = −1.333 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4)·4 = 2.667 m/s

答案

v′₂ = 2.667 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 15.2 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(11 + 27) = 15.2 N·s

答案

J = 15.2 N·s

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.5591 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.5/2π)² = 0.5591 m

答案

L = 0.5591 m

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 87.43 m/s²

角频率

ω = √(340/0.7) = 22.04 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.18·22.04² = 87.43 m/s²

答案

a_max = 87.43 m/s²

15.波、声与光学

答案: β₂ = 90.46 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (1/3)² = 0.1111

新的声级

β₂ = 100 + 10·log₁₀(0.1111) = 90.46 dB

答案

β₂ = 90.46 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

16.波、声与光学

答案: d_i2 = 9.362 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/20 − 1/12 → d_i1 = −30 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 25 − (−30) = 55 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/8 − 1/55 → d_i2 = 9.362 cm

答案

d_i2 = 9.362 cm

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