物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 108 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.5 s，之后汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 108 km/ht_r = 0.5 sa = −6 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 16 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 8 kg 和 1.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 1.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 7.5 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 7.5 m/sθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 10 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 11 m/sθ = 35°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 85 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 85 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 2 kg 的小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 9 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 2 kgr = 0.6 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的球挂在长 2 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 50°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.5 kgL = 2 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 3 mL = 3 mμ = 0.15k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 2 m 的轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 30°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 1.5 kgL = 2 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 380 N/m 弹簧上的 2.4 kg 物体被沿正方向拉开 4 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.4 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.4 kgk = 380 N/mA = 4 cmt = 1.4 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

把一个 2.5 kg 的物体挂在一根 k = 240 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 2.5 kgk = 240 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.75 m。声速为 343 m/s。求其基频（一次谐波）的频率 f₁。

v = 343 m/sn = 1L = 0.75 m

f₁ = Hz

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 50 cm 的凹面镜前 12 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 12 cmR = 50 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: d = 90 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 30·0.5 = 15 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·6) = 75 m

合计

d = 15 + 75 = 90 m

答案

d = 90 m

2.运动学

答案: h_max = 48.05 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9.81) = 13.05 m

离地面的高度

h_max = 35 + 13.05 = 48.05 m

答案

h_max = 48.05 m

3.牛顿定律

答案: T = 24.78 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (8 − 1.5)·9.81/(8 + 1.5) = 6.712 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 1.5·(9.81 + 6.712) = 24.78 N

答案

T = 24.78 N

4.牛顿定律

答案: d = 4.595 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.3·cos 20°) = 6.121 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 7.5²/(2·6.121) = 4.595 m

答案

d = 4.595 m

5.抛体运动

答案: t = 0.6973 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 20° = 9.397 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 20° = 3.42 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·3.42/9.81 = 0.6973 s

答案

t = 0.6973 s

6.抛体运动

答案: x = 35.14 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 35° = 9.011 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 35° = 6.309 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 6.309·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.309 + √(39.81 + 981))/9.81 = 3.9 s

水平距离

x = v_x·t = 9.011·3.9 = 35.14 m

答案

x = 35.14 m

7.圆周运动

答案: v_max = 18.26 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·85) = 18.26 m/s

答案

v_max = 18.26 m/s (65.75 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 289.6 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·9²/0.6 = 19.62 + 270 = 289.6 N

答案

T = 289.6 N

9.功和能

答案: T = 8.409 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 50°) = 14.02 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·14.02/2 = 8.409 N

答案

T = 8.409 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 8.409 N。

10.功和能

答案: x = 25.01 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(3 − 0.15·3) = 125.1 J

最大压缩量

½kx² = 125.1 → x = √(2·125.1/4000) = 0.2501 m = 25.01 cm

答案

x = 25.01 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.333 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1 − 0.5)/(1 + 0.5)·4 = 1.333 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 0.5)·4 = 5.333 m/s

答案

v′₁ = 1.333 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 346.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 30°) = 0.2679 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.2679) = 2.293 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.51·2.293/0.01 = 346.2 m/s

答案

v = 346.2 m/s

13.弹簧与单摆

答案: x = 1.325 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(380/2.4) = 12.58 rad/s

ω·t = 12.58·1.4 = 17.62 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(17.62) = 1.325 cm

答案

x = 1.325 cm

14.弹簧与单摆

答案: x_max = 20.44 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 2.5·9.81/240 = 0.1022 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.2044 m = 20.44 cm

答案

x_max = 20.44 cm

15.波、声与光学

答案: f₁ = 114.3 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.75/1 = 3 m

频率

f = v/λ = 343/3 = 114.3 Hz

答案

f₁ = 114.3 Hz

16.波、声与光学

答案: d_i = −23.08 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 25 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/12

d_i = −23.08 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −23.08 cm

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