物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
警车a = 2.5 m/s²汽车16 m/s

一辆以恒定的 16 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2.5 m/s² 匀加速。 警车需要多长时间追上？求 t。

vcar = 16 m/sapolice = 2.5 m/s²v0,police = 0
t = s
2.运动学困难
d = ?

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.1 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

ttotal = 3.1 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
θ = 20°a = ?m = 14 kg

一个 14 kg 的物块沿倾角为 20° 的光滑斜面下滑。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 14 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 7 kg3.5 kg无摩擦

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 7 kgm2 = 3.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 28 m/s70°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 28 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 50 mv0​ = 21 m/s20°射程

一个球 从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 21 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.圆周运动中等
r = 2.2 mn = ?

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.2 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。 求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 2.2 mμs = 0.6g = 9.81 m/s²
n = rpm
8.圆周运动困难
r = 1.5 mv = 3 m/s

一个 1.8 kg 的小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.8 kgr = 1.5 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
25°d = 10 mμ = 0.15

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 10 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.15d = 10 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.功和能困难
h = 4.5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 2000 N/m

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 4.5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
4 kg3 m/s3 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 4 kgm2 = 3 kgv1 = 3 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
12.动量与碰撞困难
3.5 kgv = ?8 g40°L = 1.7 m

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 1.7 m 的轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 3.5 kgL = 1.7 mθ = 40°g = 9.81 m/s²
v = m/s
13.弹簧与单摆中等
L = 2.6 m

一个单摆的摆长为 2.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.6 mg = 9.81 m/s²
T = s
14.弹簧与单摆困难
1.6 kgk = 160 N/mA = 10 cm

一个 1.6 kg 的物体连在 k = 160 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。 求它的最大加速度 amax。

m = 1.6 kgk = 160 N/mA = 10 cm
amax = m/s²
15.波、声与光学中等
75 dB?2 m16 m

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 2 m 处的声级为 75 dB。忽略吸收和反射，求 16 m 处的声级 β2。

β1 = 75 dBr1 = 2 mr2 = 16 m
β2 = dB
16.波、声与光学困难
λ = ?11.2°

一个每毫米 400 条刻线的光栅，在偏离直进方向 11.2° 处出现某条谱线的第 1 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 400 mm⁻¹θ1 = 11.2°m = 1
λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: t = 12.8 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·16/2.5 = 12.8 s

答案

t = 12.8 s

此时警车的速度为 2v = 32 m/s。

2.运动学

答案: d = 43.37 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.1 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 1063 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1063))/(2·4.905) = 2.974 s

深度

d = ½·9.81·2.974² = 43.37 m

答案

d = 43.37 m
3.牛顿定律

答案: a = 3.355 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0) = 3.355 m/s²

答案

a = 3.355 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 22.89 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (34.34 − 0)/10.5 = 3.27 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 7·3.27 + 0 = 22.89 N

答案

T = 22.89 N
5.抛体运动

答案: H = 35.28 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 28·cos 70° = 9.577 m/s
vy = v0·sin θ = 28·sin 70° = 26.31 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 26.31²/(2·9.81) = 35.28 m

答案

H = 35.28 m
6.抛体运动

答案: t = 4.008 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 21·cos 20° = 19.73 m/s
vy = v0·sin θ = 21·sin 20° = 7.182 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 7.182·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (7.182 + √(51.59 + 981))/9.81 = 4.008 s

答案

t = 4.008 s
7.圆周运动

答案: n = 26.03 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r
μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.6·2.2)) = 2.726 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 26.03 rpm

答案

n = 26.03 rpm
8.圆周运动

答案: T = 28.46 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 1.8·9.81 + 1.8·3²/1.5 = 17.66 + 10.8 = 28.46 N

答案

T = 28.46 N
9.功和能

答案: v = 7.5 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·10·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 7.5 m/s

答案

v = 7.5 m/s
10.功和能

答案: x = 45.39 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(4.5 − 0.2·1.5) = 206 J

最大压缩量

½kx² = 206 → x = √(2·206/2000) = 0.4539 m = 45.39 cm

答案

x = 45.39 cm
11.动量与碰撞

答案: v′1 = 0.4286 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (4 − 3)/(4 + 3)·3 = 0.4286 m/s
v′2 = 2·4/(4 + 3)·3 = 3.429 m/s

答案

v′1 = 0.4286 m/s
12.动量与碰撞

答案: v = 1225 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.7·(1 − cos 40°) = 0.3977 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.3977) = 2.793 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.508·2.793/0.008 = 1225 m/s

答案

v = 1225 m/s
13.弹簧与单摆

答案: T = 3.235 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.6/9.81) = 3.235 s

答案

T = 3.235 s
14.弹簧与单摆

答案: amax = 10 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(160/1.6) = 10 rad/s

最大加速度

amax = A·ω² = 0.1·10² = 10 m/s²

答案

amax = 10 m/s²
15.波、声与光学

答案: β2 = 56.94 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (2/16)² = 0.01563

新的声级

β₂ = 75 + 10·log₁₀(0.01563) = 56.94 dB

答案

β2 = 56.94 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

16.波、声与光学

答案: λ = 485.6 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 2.5 × 10⁻⁶·sin 11.2°/1 = 485.6 nm

答案

λ = 485.6 nm

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