物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 50 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 10 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 17 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 10 mv_0B = 17 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 8.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 65° 的角度抛出，落在 75 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 65°R = 75 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 23 m/sθ = 35°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 0.9 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 45° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 0.9 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.9 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 8 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.1d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 6.4 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 6.4 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一辆以 5 m/s 行驶的 900 kg 汽车撞上一辆静止的 1700 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 900 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一辆 1200 kg 的汽车撞上一辆停放的 1000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 23 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1200 kgm₂ = 1000 kgd = 23 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.3 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.41 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.3 mT = 2.41 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.1 s，振幅为 9 cm。它从平衡位置运动到位移 2.7 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.1 sA = 9 cmx = 2.7 cm

t = s

15.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.75 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 343 m/sn = 5L = 0.75 m

f₅ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光垂直照射在每毫米 1200 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 1200 mm⁻¹λ = 600 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.525 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/5.5 = 2.525 s

答案

t = 2.525 s

2.运动学

答案: t = 0.5882 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

10 − ½g·t² = 17·t − ½g·t² → t = 10/17 = 0.5882 s

答案

t = 0.5882 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.368 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

答案

a = 2.368 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 30.88 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 0)/13.5 = 3.633 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8.5·3.633 + 0 = 30.88 N

答案

T = 30.88 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 30.99 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·75/sin 130°) = 30.99 m/s

答案

v₀ = 30.99 m/s

6.抛体运动

答案: t = 4.335 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 35° = 18.84 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 35° = 13.19 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 13.19·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.19 + √(174 + 686.7))/9.81 = 4.335 s

答案

t = 4.335 s

7.圆周运动

答案: T = 1.6 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.9·sin 45° = 0.6364 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.6364·9.81·tan 45°) = 2.499 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.6364/2.499 = 1.6 s

答案

T = 1.6 s

8.圆周运动

答案: v_min = 2.971 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.9) = 2.971 m/s

答案

v_min = 2.971 m/s

9.功和能

答案: v = 7.219 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·8·(0.4226 − 0.1·0.9063)) = 7.219 m/s

答案

v = 7.219 m/s

10.功和能

答案: N = 68.67 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6.4 − 4) = 47.09 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·47.09/2 − 49.05 = 68.67 N

答案

N = 68.67 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 65.38 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 900·5/2600 = 1.731 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·900·5² = 11250 J

K_after = ½·2600·1.731² = 3894 J

损失的比例

ΔK/K = 7356/11250 = 65.38 %

答案

ΔK/K = 65.38 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 30.17 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·23) = 16.45 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·16.45/1200 = 30.17 m/s

答案

v₁ = 30.17 m/s

(108.6 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: g = 8.836 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.3/2.41² = 8.836 m/s²

答案

g = 8.836 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.05334 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.1 = 5.712 rad/s

求解时间

0.3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.3) = 0.3047 rad

t = 0.3047/5.712 = 0.05334 s

答案

t = 0.05334 s

15.波、声与光学

答案: f₅ = 1143 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.75/5 = 0.3 m

频率

f = v/λ = 343/0.3 = 1143 Hz

答案

f₅ = 1143 Hz

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 46.05 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/1200 mm = 8.333 × 10⁻⁷ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·600 × 10⁻⁹/(8.333 × 10⁻⁷) = 0.72

θ = 46.05°

答案

θ₁ = 46.05°

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