物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 28 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3.5 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 28 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 50 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 23 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 50 mv_0B = 23 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 2.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 6.4 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 2.5 m/sd = 6.4 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 12 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 34 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 9 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 50°h_roof = 9 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 140 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 140 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 290 m 的弯道倾斜 15°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 290 mθ = 15°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 9 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 45°μ = 0.35d = 9 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 5 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 25 m/s 行驶的 1800 kg 汽车撞上一辆静止的 900 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1800 kgv₁ = 25 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一辆 1200 kg 的汽车撞上一辆停放的 1200 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 15.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1200 kgm₂ = 1200 kgd = 15.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 20 N/m 弹簧上的 0.5 kg 物体在无摩擦表面上以 4 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 2 cm 时的速度 v。

m = 0.5 kgk = 20 N/mA = 4 cmx = 2 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 1.2 kg 的物体连在 k = 300 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 4 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1.2 kgk = 300 N/mA = 4 cm

E = J

15.波、声与光学中等

频率为 1000 Hz 的声源以 10 m/s 的速度朝静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求从中央亮条纹到第 1 条亮条纹的距离 y₁。

λ = 500 nmd = 0.15 mmL = 1 mm = 1

y₁ = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 16 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/3.5 = 16 s

答案

t = 16 s

此时警车的速度为 2v = 56 m/s。

2.运动学

答案: y = 26.82 m

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

50 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 50/23 = 2.174 s

相遇高度

y = 23·2.174 − ½·9.81·2.174² = 26.82 m

答案

y = 26.82 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.04977

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 2.5²/(2·6.4) = 0.4883 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.4883/9.81 = 0.04977

答案

μ = 0.04977

4.牛顿定律

答案: T = 19.62 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 0)/9 = 3.27 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·3.27 + 0 = 19.62 N

答案

T = 19.62 N

5.抛体运动

答案: t = 1.573 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 40° = 9.193 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 40° = 7.713 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·7.713/9.81 = 1.573 s

答案

t = 1.573 s

6.抛体运动

答案: x = 107.9 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 21.85 m/s, v_y = 26.05 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

9 = 26.05·t − 4.905·t²

t = (26.05 + √(26.05² − 2·9.81·9))/9.81 = 4.938 s

水平距离

x = v_x·t = 21.85·4.938 = 107.9 m

答案

x = 107.9 m

7.圆周运动

答案: v_max = 28.71 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·140) = 28.71 m/s

答案

v_max = 28.71 m/s (103.3 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 35.2 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(290·9.81·0.4037/0.9271) = 35.2 m/s

答案

v_max = 35.2 m/s

(126.7 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 43.7 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.7071 = 13.87 N

F = μN = 0.35·13.87 = 4.856 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 4.856·9 = 43.7 J

答案

W_f = 43.7 J

10.功和能

答案: x = 12.91 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(5 − 0.3·2.5) = 41.69 J

最大压缩量

½kx² = 41.69 → x = √(2·41.69/5000) = 0.1291 m = 12.91 cm

答案

x = 12.91 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 33.33 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1800·25/2700 = 16.67 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1800·25² = 562500 J

K_after = ½·2700·16.67² = 375000 J

损失的比例

ΔK/K = 187500/562500 = 33.33 %

答案

ΔK/K = 33.33 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 27.02 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·15.5) = 13.51 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2400·13.51/1200 = 27.02 m/s

答案

v₁ = 27.02 m/s

(97.26 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.2191 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(20/0.5) = 6.325 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 6.325·√(0.04² − 0.02²) = 0.2191 m/s

答案

v = 0.2191 m/s

14.弹簧与单摆

答案: E = 0.24 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(300/1.2) = 15.81 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·300·0.04² = 0.24 J

答案

E = 0.24 J

15.波、声与光学

答案: f′ = 1030 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 0)/(343 − 10)

f′ = 1030 Hz

答案

f′ = 1030 Hz

16.波、声与光学

答案: y₁ = 3.333 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·1/(0.15 × 10⁻³) = 3.333 mm

第 1 条条纹

y₁ = 1·3.333 = 3.333 mm

答案

y₁ = 3.333 mm

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