物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 28 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 28 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 28 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 28 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 13 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5 m/sd = 13 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s 抛出，必须落在 65 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 26 m/sR = 65 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶部以 10 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 10 m/sθ = 40°h = 60 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 115 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 115 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.6 kg 的小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 9 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.6 kgr = 1.2 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 3 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 1 kgθ = 30°μ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 3.5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 25 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 25 m/sv_out = 10 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.09 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.9 mT = 3.09 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 3.5 kg 的物体连在 k = 290 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 7 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.5 kgk = 290 N/mA = 7 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 20 cm 的薄发散透镜前 12 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 12 cmf = −20 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.5 m。求从中央亮条纹到第 5 条亮条纹的距离 y₅。

λ = 450 nmd = 0.15 mmL = 1.5 mm = 5

y₅ = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 285.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/5.5 = 10.18 s

距离

d = v·t = 28·10.18 = 285.1 m

答案

d = 285.1 m

此时警车的速度为 2v = 56 m/s。

2.运动学

答案: t = 14.34 s

动力阶段

v₁ = 28·2 = 56 m/s

h₁ = ½·28·2² = 56 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (56 + √(56² + 2·9.81·56))/9.81 = 12.34 s

t = 2 + 12.34 = 14.34 s

答案

t = 14.34 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.09802

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 5²/(2·13) = 0.9615 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.9615/9.81 = 0.09802

答案

μ = 0.09802

4.牛顿定律

答案: T = 23.54 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 11.77)/9 = 1.962 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·1.962 + 11.77 = 23.54 N

答案

T = 23.54 N

5.抛体运动

答案: θ = 35.3 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·65/26² = 0.9433

相角

2θ = 70.61° → θ = 35.3°

答案

θ = 35.3°

另一个解为 90° − θ = 54.7°。

6.抛体运动

答案: H = 62.11 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 10·sin 40° = 6.428 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 6.428²/(2·9.81) = 2.106 m

离地面的高度

H = 60 + 2.106 = 62.11 m

答案

H = 62.11 m

7.圆周运动

答案: v_max = 21.24 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·115) = 21.24 m/s

答案

v_max = 21.24 m/s (76.47 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 123.7 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.6·9.81 + 1.6·9²/1.2 = 15.7 + 108 = 123.7 N

答案

T = 123.7 N

9.功和能

答案: W_f = 5.097 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.866 = 8.496 N

F = μN = 0.2·8.496 = 1.699 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.699·3 = 5.097 J

答案

W_f = 5.097 J

10.功和能

答案: x = 17.72 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(3.5 − 0.2·1.5) = 62.78 J

最大压缩量

½kx² = 62.78 → x = √(2·62.78/4000) = 0.1772 m = 17.72 cm

答案

x = 17.72 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 7.778 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 1)/(3.5 + 1)·5 = 2.778 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 1)·5 = 7.778 m/s

答案

v′₂ = 7.778 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 560 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(10 + 25) = 14 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 14/0.025 = 560 N

答案

F_avg = 560 N

13.弹簧与单摆

答案: g = 3.721 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.9/3.09² = 3.721 m/s²

答案

g = 3.721 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: E = 0.7105 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(290/3.5) = 9.103 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·290·0.07² = 0.7105 J

答案

E = 0.7105 J

15.波、声与光学

答案: d_i = −7.5 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/12

d_i = −7.5 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −7.5 cm

16.波、声与光学

答案: y₅ = 22.5 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·1.5/(0.15 × 10⁻³) = 4.5 mm

第 5 条条纹

y₅ = 5·4.5 = 22.5 mm

答案

y₅ = 22.5 mm

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