物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 30 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 21 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 30 mv_0B = 21 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 13 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 13 kgθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 8.5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 8.5 m/sθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 18 m/s 抛出，必须落在 15 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 18 m/sR = 15 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从地面以 24 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 12 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 60°h_roof = 12 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 40° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 1 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.2 kg 的小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.2 kgr = 1.2 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 8 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 40°μ = 0.1d = 8 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

在 35° 斜坡底部有一根刚度为 1000 N/m 的弹簧，它顶着一个 5 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 5 kgk = 1000 N/mx = 15 cmθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 10 m/sv_out = 16 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 200 N/m 弹簧上的 2.3 kg 物体被沿正方向拉开 11 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.45 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.3 kgk = 200 N/mA = 11 cmt = 0.45 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.2 s，振幅为 9 cm。它从最大位移 9 cm 处运动到位移 5.4 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.2 sA = 9 cmx = 5.4 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 10 m 处的声级为 85 dB。忽略吸收和反射，求 50 m 处的声级 β₂。

β₁ = 85 dBr₁ = 10 mr₂ = 50 m

β₂ = dB

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 30 cm：透镜 1 的 f₁ = 15 cm，透镜 2 的 f₂ = 20 cm。一个物体位于透镜 1 前 40 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 15 cmf₂ = 20 cms = 30 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 48.23 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·8) = 48.23 m

答案

s = 48.23 m

2.运动学

答案: t = 1.429 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

30 − ½g·t² = 21·t − ½g·t² → t = 30/21 = 1.429 s

答案

t = 1.429 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.216 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.3·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2457) = 3.216 m/s²

答案

a = 3.216 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 6.713 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.3·cos 15°) = 5.382 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 8.5²/(2·5.382) = 6.713 m

答案

d = 6.713 m

5.抛体运动

答案: θ = 13.51 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·15/18² = 0.4542

相角

2θ = 27.01° → θ = 13.51°

答案

θ = 13.51°

另一个解为 90° − θ = 76.49°。

6.抛体运动

答案: x = 42.57 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 12 m/s, v_y = 20.78 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

12 = 20.78·t − 4.905·t²

t = (20.78 + √(20.78² − 2·9.81·12))/9.81 = 3.548 s

水平距离

x = v_x·t = 12·3.548 = 42.57 m

答案

x = 42.57 m

7.圆周运动

答案: v = 2.3 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1·sin 40° = 0.6428 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.6428·9.81·tan 40°) = 2.3 m/s

答案

v = 2.3 m/s

8.圆周运动

答案: T = 36.77 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·5²/1.2 = 11.77 + 25 = 36.77 N

答案

T = 36.77 N

9.功和能

答案: W_f = 12.02 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.766 = 15.03 N

F = μN = 0.1·15.03 = 1.503 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.503·8 = 12.02 J

答案

W_f = 12.02 J

10.功和能

答案: d = 0.3499 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·1000·0.15² = 11.25 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 11.25/(49.05·(0.5736 + 0.1·0.8192)) = 0.3499 m

答案

d = 0.3499 m

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −2.2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 3)/(2 + 3)·11 = −2.2 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3)·11 = 8.8 m/s

答案

v′₁ = −2.2 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 364 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(16 + 10) = 9.1 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 9.1/0.025 = 364 N

答案

F_avg = 364 N

13.弹簧与单摆

答案: x = −5.429 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(200/2.3) = 9.325 rad/s

ω·t = 9.325·0.45 = 4.196 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 11·cos(4.196) = −5.429 cm

答案

x = −5.429 cm

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.3247 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.2 = 2.856 rad/s

求解时间

0.6 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.6) = 0.9273 rad

t = 0.9273/2.856 = 0.3247 s

答案

t = 0.3247 s

15.波、声与光学

答案: β₂ = 71.02 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (10/50)² = 0.04

新的声级

β₂ = 85 + 10·log₁₀(0.04) = 71.02 dB

答案

β₂ = 71.02 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

16.波、声与光学

答案: d_i2 = −8.571 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/15 − 1/40 → d_i1 = 24 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 30 − 24 = 6 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/20 − 1/6 → d_i2 = −8.571 cm

答案

d_i2 = −8.571 cm

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