物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.3 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/ht_r = 1.3 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 15 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 3 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 3.1 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 3 m/sd = 3.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 140 N 的水平力拉前面 9 kg 的物块；8 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 9 kgF = 140 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 26 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 26 m/sθ = 60°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个半径为 280 m 的弯道倾斜 10°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 280 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.8 kg 的小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.8 kgr = 0.9 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 14 m 后的速度 v。

θ = 20°μ = 0.15d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 15 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 2 m 后的速度 v。

m = 2 kgF = 15 Nθ = 20°μ = 0.15d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 16 m/s 向东行驶的 1000 kg 汽车与一辆以 8 m/s 向北行驶的 1500 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1000 kgv₁ = 16 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 8 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 250 N/m 弹簧上的 4 kg 物体被沿正方向拉开 13 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.1 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 4 kgk = 250 N/mA = 13 cmt = 1.1 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.6 kg 的物体连在 k = 100 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 6 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.6 kgk = 100 N/mA = 6 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.65 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 343 m/sn = 5L = 0.65 m

f₅ = Hz

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.5，包层 n₂ = 1.4。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.5n₂ = 1.4

NA =

3溶液

1.运动学

答案: d = 26.02 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 12.5·1.3 = 16.25 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·8) = 9.766 m

合计

d = 16.25 + 9.766 = 26.02 m

答案

d = 26.02 m

2.运动学

答案: h_max = 41.47 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 15²/(2·9.81) = 11.47 m

离地面的高度

h_max = 30 + 11.47 = 41.47 m

答案

h_max = 41.47 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.148

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·3.1) = 1.452 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.452/9.81 = 0.148

答案

μ = 0.148

4.牛顿定律

答案: T = 65.88 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 33.35)/17 = 6.273 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(6.273 + 1.962) = 65.88 N

答案

T = 65.88 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: x = 44.29 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 20° = 24.43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 20° = 8.893 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.893/9.81 = 1.813 s

水平距离

x = v_x·t = 24.43·1.813 = 44.29 m

答案

x = 44.29 m

6.抛体运动

答案: x = 69.58 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 60° = 22.52 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 22.52·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22.52 + √(507 + 392.4))/9.81 = 5.352 s

水平距离

x = v_x·t = 13·5.352 = 69.58 m

答案

x = 69.58 m

7.圆周运动

答案: v = 22.01 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(280·9.81·tan 10°) = 22.01 m/s

答案

v = 22.01 m/s

(79.23 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 35.66 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.8·9.81 + 1.8·3²/0.9 = 17.66 + 18 = 35.66 N

答案

T = 35.66 N

9.功和能

答案: v = 7.432 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.342 − 0.15·0.9397)) = 7.432 m/s

答案

v = 7.432 m/s

10.功和能

答案: v = 3.324 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 6.71 N

μ·mg·cos θ = 2.766 N

功–能关系

½mv² = (15 − 9.476)·2 = 11.05 J

v = √(2·11.05/2) = 3.324 m/s

答案

v = 3.324 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 2.5)/(5 + 2.5)·5 = 1.667 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 2.5)·5 = 6.667 m/s

答案

v′₁ = 1.667 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 36.87 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 1000·16 = 16000 kg·m/s

p_y = 1500·8 = 12000 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.75 → θ = 36.87°

答案

θ = 36.87°

13.弹簧与单摆

答案: v = −0.6842 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(250/4) = 7.906 rad/s

ω·t = 7.906·1.1 = 8.696 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.13·7.906·sin(8.696) = −0.6842 m/s

答案

v = −0.6842 m/s

14.弹簧与单摆

答案: E = 0.18 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(100/3.6) = 5.27 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·100·0.06² = 0.18 J

答案

E = 0.18 J

15.波、声与光学

答案: f₅ = 659.6 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.65/5 = 0.52 m

频率

f = v/λ = 343/0.52 = 659.6 Hz

答案

f₅ = 659.6 Hz

16.波、声与光学

答案: NA = 0.5385

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.4/1.5 = 0.9333 → θc = 68.96°

数值孔径

NA = √(1.5² − 1.4²) = 0.5385

答案

NA = 0.5385

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