物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3.25 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1200 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3.25 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 26 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 26 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 4.5 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 4.5 m/sθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 10 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 17 m/sθ = 50°h = 10 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆 1700 kg 的汽车以 26 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 110 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1700 kgv = 26 m/sr = 110 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 1.3 kg 的小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.3 kgr = 1.5 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 70 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 70 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.6 kgv_in = 19 m/sv_out = 12 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.4 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 340 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 14 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 11 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 340 N/mA = 14 cmx = 11 cm

U = J

15.波、声与光学中等

对于入射角大于 38° 的每一个角度，透明块内的光在与甘油（n = 1.47）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 38°n₂ = 1.47

n₁ =

16.波、声与光学困难

波长为 589 nm 的光照射到相距 0.3 mm 的两条缝上。屏距离缝 2 m。求从中央亮条纹到第 3 条亮条纹的距离 y₃。

λ = 589 nmd = 0.3 mmL = 2 mm = 3

y₃ = mm

3溶液

1.运动学

答案: v = 88.32 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3.25·1200) = 88.32 m/s

答案

v = 88.32 m/s

(317.9 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 296.6 m

动力阶段

v₁ = 26·2.5 = 65 m/s

h₁ = ½·26·2.5² = 81.25 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 65²/(2·9.81) = 215.3 m

h_max = 81.25 + 215.3 = 296.6 m

答案

h_max = 296.6 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.216 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.3·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2457) = 3.216 m/s²

答案

a = 3.216 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 1.948 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.2·cos 20°) = 5.199 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 4.5²/(2·5.199) = 1.948 m

答案

d = 1.948 m

5.抛体运动

答案: H = 4.187 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 65° = 4.226 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 65° = 9.063 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 9.063²/(2·9.81) = 4.187 m

答案

H = 4.187 m

6.抛体运动

答案: H = 18.64 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 17·sin 50° = 13.02 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 13.02²/(2·9.81) = 8.644 m

离地面的高度

H = 10 + 8.644 = 18.64 m

答案

H = 18.64 m

7.圆周运动

答案: N = 6230 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9.81 − 1700·26²/110 = 16677 − 10447 = 6230 N

答案

N = 6230 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T = 30.3 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.3·9.81 + 1.3·4.5²/1.5 = 12.75 + 17.55 = 30.3 N

答案

T = 30.3 N

9.功和能

答案: d = 32.12 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.6·9.81) = 32.12 m

答案

d = 32.12 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 17.16 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.25·5) = 73.58 J

最大压缩量

½kx² = 73.58 → x = √(2·73.58/5000) = 0.1716 m = 17.16 cm

答案

x = 17.16 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −2.538 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 4)/(2.5 + 4)·11 = −2.538 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 4)·11 = 8.462 m/s

答案

v′₁ = −2.538 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: J = 18.6 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(12 + 19) = 18.6 N·s

答案

J = 18.6 N·s

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.431 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.4/2π)² = 1.431 m

答案

L = 1.431 m

14.弹簧与单摆

答案: U = 2.057 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·340·0.14² = 3.332 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·340·0.11² = 2.057 J

答案

U = 2.057 J

15.波、声与光学

答案: n₁ = 2.388

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.47/0.6157 = 2.388

答案

n₁ = 2.388

16.波、声与光学

答案: y₃ = 11.78 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·2/(0.3 × 10⁻³) = 3.927 mm

第 3 条条纹

y₃ = 3·3.927 = 11.78 mm

答案

y₃ = 11.78 mm

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