物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 25 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 25 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 3 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 3 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5.5 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5.5 m/sθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 20 m/s、与水平方向成 65° 的角度朝 6 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 20 m/sθ = 65°x = 6 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 15°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 80 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 80 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.1 kg 的小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.1 kgr = 1.4 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 19 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.2d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

在 35° 斜坡底部有一根刚度为 2000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 2000 N/mx = 15 cmθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 2 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 0.6 m 的轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 15°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 2.5 kgL = 0.6 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 0.7 kg 的物体连在 k = 470 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 19 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.7 kgk = 470 N/mA = 19 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 0.5 m。声速为 343 m/s。求其第 7 次谐波的频率 f₇。

v = 343 m/sn = 7L = 0.5 m

f₇ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光照射到相距 0.3 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 633 nmd = 0.3 mmL = 2.5 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 10 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·25/5 = 10 s

答案

t = 10 s

此时警车的速度为 2v = 50 m/s。

2.运动学

答案: d = 60.86 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1269 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1269))/(2·4.905) = 3.523 s

深度

d = ½·9.81·3.523² = 60.86 m

答案

d = 60.86 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.856 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

答案

a = 4.856 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 1.882 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.3·cos 35°) = 8.038 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5.5²/(2·8.038) = 1.882 m

答案

d = 1.882 m

5.抛体运动

答案: y = 10.4 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 20·cos 65° = 8.452 m/s

t = x/v_x = 6/8.452 = 0.7099 s

此时的高度

y = 18.13·0.7099 − ½·9.81·0.7099² = 10.4 m

答案

y = 10.4 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 4.313 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 15° = 27.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 15° = 7.247 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 7.247·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.247 + √(52.52 + 1177))/9.81 = 4.313 s

答案

t = 4.313 s

7.圆周运动

答案: v_max = 25.06 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·80) = 25.06 m/s

答案

v_max = 25.06 m/s (90.2 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 17.86 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.1·9.81 + 1.1·3²/1.4 = 10.79 + 7.071 = 17.86 N

答案

T = 17.86 N

9.功和能

答案: W_f = 285.6 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.766 = 75.15 N

F = μN = 0.2·75.15 = 15.03 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 15.03·19 = 285.6 J

答案

W_f = 285.6 J

10.功和能

答案: d = 1.166 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·2000·0.15² = 22.5 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 22.5/(29.43·(0.5736 + 0.1·0.8192)) = 1.166 m

答案

d = 1.166 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.571 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2 − 5)/(2 + 5)·8 = −3.429 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 5)·8 = 4.571 m/s

答案

v′₂ = 4.571 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 198.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 15°) = 0.02044 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.02044) = 0.6333 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.508·0.6333/0.008 = 198.6 m/s

答案

v = 198.6 m/s

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.475 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(3/9.81) = 3.475 s

答案

T = 3.475 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 4.923 m/s

角频率

ω = √(470/0.7) = 25.91 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.19·25.91 = 4.923 m/s

答案

v_max = 4.923 m/s

15.波、声与光学

答案: f₇ = 1201 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.5/7 = 0.2857 m

频率

f = v/λ = 343/0.2857 = 1201 Hz

答案

f₇ = 1201 Hz

16.波、声与光学

答案: Δy = 5.275 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·2.5/(0.3 × 10⁻³) = 5.275 mm

答案

Δy = 5.275 mm

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