物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/ht_r = 1.5 sa = −7 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

质量为 6.5 kg 和 2.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 38 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶部以 26 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 26 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 70 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 70 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 5 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 h_min 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 5 mv₀ = 0

h_min = m

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 90 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 90 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 3.5 mL = 5 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 10 m/s 水平运动的 12 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。7 kg 的碎片以 16 m/s 继续向前运动。求 5 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 12 kgu = 10 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 16 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.5 kg 的小球以 23 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.5 kgv_in = 23 m/sv_out = 19 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.7 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

把一个 2 kg 的物体挂在一根 k = 430 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 2 kgk = 430 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

两端固定的弦的基频（一次谐波）必须为 125 Hz；波在其上以 150 m/s 传播。求其长度 L。

v = 150 m/sn = 1f₁ = 125 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

波长为 589 nm 的光通过一条宽 0.12 mm 的单缝。求第 1 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₁。

λ = 589 nma = 0.12 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 29.91 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 12.5·1.5 = 18.75 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·7) = 11.16 m

合计

d = 18.75 + 11.16 = 29.91 m

答案

d = 29.91 m

2.运动学

答案: d = 92.03 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1578 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1578))/(2·4.905) = 4.332 s

深度

d = ½·9.81·4.332² = 92.03 m

答案

d = 92.03 m

3.牛顿定律

答案: T = 35.42 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (6.5 − 2.5)·9.81/(6.5 + 2.5) = 4.36 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 2.5·(9.81 + 4.36) = 35.42 N

答案

T = 35.42 N

4.牛顿定律

答案: a = 5.139 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 0)/10.5 = 5.139 m/s²

答案

a = 5.139 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 138.3 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 35° = 31.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 35° = 21.8 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·21.8/9.81 = 4.444 s

水平距离

x = v_x·t = 31.13·4.444 = 138.3 m

答案

x = 138.3 m

6.抛体运动

答案: α = 67.81 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 26·cos 55° = 14.91 m/s

v_y0 = 26·sin 55° = 21.3 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(21.3² + 2·9.81·45) = 36.56 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 36.56/14.91 → α = 67.81°

答案

α = 67.81°

7.圆周运动

答案: v_max = 18.53 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·70) = 18.53 m/s

答案

v_max = 18.53 m/s (66.71 km/h)

8.圆周运动

答案: h_min = 12.5 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·5 = 12.5 m

答案

h_min = 12.5 m

9.功和能

答案: d = 53.09 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 90/3.6 = 25 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0.6·9.81) = 53.09 m

答案

d = 53.09 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 12.79 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(3.5 − 0.2·5) = 12.26 J

最大压缩量

½kx² = 12.26 → x = √(2·12.26/1500) = 0.1279 m = 12.79 cm

答案

x = 12.79 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 1.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 12·10 = 120 kg·m/s

碰撞后的动量

120 = 7·16 + 5·v′₂

v′₂ = (120 − 112)/5 = 1.6 m/s

答案

v′₂ = 1.6 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 21 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.5·(19 + 23) = 21 N·s

答案

J = 21 N·s

13.弹簧与单摆

答案: T = 1.678 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.7/9.81) = 1.678 s

答案

T = 1.678 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.669 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 2·9.81/430 = 0.04563 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(430/2) = 14.66 rad/s

v_max = A·ω = 0.04563·14.66 = 0.669 m/s

答案

v_max = 0.669 m/s

15.波、声与光学

答案: L = 0.6 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 150/125 = 1.2 m

长度

L = nλ/2 = 1·1.2/2 = 0.6 m

答案

L = 0.6 m

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 0.2812 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.004908

θ = 0.2812°

答案

θ₁ = 0.2812°

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