物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 30 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 30 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 90 N 的水平力拉前面 5 kg 的物块；6 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgF = 90 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 33 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 33 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 90 km/h 通过半径为 200 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 200 mv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个 1.5 kg 的小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.5 kgr = 1 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 70 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 70 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 3.5 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 19 m/s 水平运动的 7 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。6 kg 的碎片以 53 m/s 继续向前运动。求 1 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 7 kgu = 19 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 53 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 2 m 的轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 1.5 kgL = 2 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.7 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.45 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.7 mT = 2.45 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 0.3 kg 的物体连在 k = 490 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.3 kgk = 490 N/mA = 16 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 1 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 343 m/sn = 5L = 1 m

f₅ = Hz

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.62，包层 n₂ = 1.57。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.62n₂ = 1.57

NA =

3溶液

1.运动学

答案: s = 14.2 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·5.5) = 14.2 m

答案

s = 14.2 m

2.运动学

答案: t = 11.37 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 30·1.5 = 45 m/s

h₁ = ½·30·1.5² = 33.75 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (45 + √(45² + 2·9.81·33.75))/9.81 = 9.871 s

t = 1.5 + 9.871 = 11.37 s

答案

t = 11.37 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.206 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.2·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1732) = 3.206 m/s²

答案

a = 3.206 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 6.22 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (90 − 21.58)/11 = 6.22 m/s²

答案

a = 6.22 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 1.673 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 20° = 22.55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 20° = 8.208 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.208/9.81 = 1.673 s

答案

t = 1.673 s

6.抛体运动

答案: v = 39.74 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 33·cos 35° = 27.03 m/s

v_y0 = 33·sin 35° = 18.93 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(18.93² + 2·9.81·25) = 29.13 m/s

落水速度

v = √(27.03² + 29.13²) = 39.74 m/s

答案

v = 39.74 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: θ = 17.67 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 90/3.6 = 25 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 25²/(200·9.81) = 0.3186

θ = 17.67°

答案

θ = 17.67°

8.圆周运动

答案: T = 45.09 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.5·9.81 + 1.5·4.5²/1 = 14.71 + 30.38 = 45.09 N

答案

T = 45.09 N

9.功和能

答案: d = 48.18 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.4·9.81) = 48.18 m

答案

d = 48.18 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 69.19 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(3.5 − 0.1·4.5) = 119.7 J

最大压缩量

½kx² = 119.7 → x = √(2·119.7/500) = 0.6919 m = 69.19 cm

答案

x = 69.19 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −185 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 7·19 = 133 kg·m/s

碰撞后的动量

133 = 6·53 + 1·v′₂

v′₂ = (133 − 318)/1 = −185 m/s

答案

v′₂ = −185 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v = 116.9 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 20°) = 0.1206 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1206) = 1.538 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.52·1.538/0.02 = 116.9 m/s

答案

v = 116.9 m/s

13.弹簧与单摆

答案: g = 11.18 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.7/2.45² = 11.18 m/s²

答案

g = 11.18 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 6.466 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(490/0.3) = 40.41 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.16·40.41 = 6.466 m/s

答案

v_max = 6.466 m/s

15.波、声与光学

答案: f₅ = 428.8 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·1/5 = 0.8 m

频率

f = v/λ = 343/0.8 = 428.8 Hz

答案

f₅ = 428.8 Hz

16.波、声与光学

答案: NA = 0.3994

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.57/1.62 = 0.9691 → θc = 75.73°

数值孔径

NA = √(1.62² − 1.57²) = 0.3994

答案

NA = 0.3994

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