物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 108 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 15 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 15 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 25° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 22 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 16 m/sθ = 15°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.4 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 2.4 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个 1.5 kg 的小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.5 kgr = 1.1 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 5 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 50°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 5 kgL = 3 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 10 kgh = 2.5 mL = 2 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 2000 kg 的汽车撞上一辆停放的 1100 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 21.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 2000 kgm₂ = 1100 kgd = 21.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.7 s，振幅为 6 cm。它从最大位移 6 cm 处运动到位移 1.8 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.7 sA = 6 cmx = 1.8 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 20 cm 的薄发散透镜前 15 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 15 cmf = −20 cm

m =

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.48，包层 n₂ = 1.47。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.48n₂ = 1.47

NA =

3溶液

1.运动学

答案: t = 10 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/3 = 10 s

答案

t = 10 s

2.运动学

答案: t = 4.607 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−35 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 35 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·35))/9.81 = 4.607 s

答案

t = 4.607 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.146 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

答案

a = 4.146 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 35.35 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 9.32)/14.5 = 2.74 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9.5·2.74 + 9.32 = 35.35 N

答案

T = 35.35 N

5.抛体运动

答案: H = 4.406 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 25° = 19.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 25° = 9.298 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 9.298²/(2·9.81) = 4.406 m

答案

H = 4.406 m

6.抛体运动

答案: x = 23.44 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 15° = 15.45 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 15° = 4.141 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 4.141·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.141 + √(17.15 + 98.1))/9.81 = 1.516 s

水平距离

x = v_x·t = 15.45·1.516 = 23.44 m

答案

x = 23.44 m

7.圆周运动

答案: n = 30.53 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·2.4)) = 3.197 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 30.53 rpm

答案

n = 30.53 rpm

8.圆周运动

答案: T = 72.33 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.5·9.81 + 1.5·6.5²/1.1 = 14.71 + 57.61 = 72.33 N

答案

T = 72.33 N

9.功和能

答案: T = 84.09 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 50°) = 21.03 m²/s²

最低点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·21.03/3 = 84.09 N

答案

T = 84.09 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 84.09 N。

10.功和能

答案: v = 6.419 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(2.5 − 0.2·2) = 206 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.1) = 6.419 m/s

答案

v = 6.419 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −0.6667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 5)/(2.5 + 5)·2 = −0.6667 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 5)·2 = 1.333 m/s

答案

v′₁ = −0.6667 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 28.47 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·21.5) = 18.37 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·18.37/2000 = 28.47 m/s

答案

v₁ = 28.47 m/s

(102.5 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: T = 1.554 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.6/9.81) = 1.554 s

答案

T = 1.554 s

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.5441 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.7 = 2.327 rad/s

求解时间

0.3 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.3) = 1.266 rad

t = 1.266/2.327 = 0.5441 s

答案

t = 0.5441 s

15.波、声与光学

答案: m = 0.5714

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/15

d_i = −8.571 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −(−8.571)/15 = 0.5714

答案

m = 0.5714

16.波、声与光学

答案: NA = 0.1718

包层处的临界角

sin θc = 1.47/1.48 = 0.9932 → θc = 83.34°

数值孔径

NA = √(1.48² − 1.47²) = 0.1718

答案

NA = 0.1718

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