物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 27 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 27 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 10 s，然后匀速行驶 23 s，最后以 3.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 10 st₂ = 23 sa₃ = −3.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 13 kg 的物块沿倾角为 30° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 13 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9.5 m/s 的速度开始沿 25° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9.5 m/sθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 20 m/s 抛出，必须落在 25 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 20 m/sR = 25 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 15°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个系在长 0.6 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 60° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 0.6 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一辆 4 kg 的小车在无摩擦轨道上从 15.5 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 4 kgh = 15.5 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的球挂在长 2 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 20°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 0.5 kgL = 2 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 5000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 3 mL = 2 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 5 m/s 行驶的 600 kg 汽车撞上一辆静止的 900 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 600 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 22 m/s 向东行驶的 1000 kg 汽车与一辆以 9 m/s 向北行驶的 1500 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1000 kgv₁ = 22 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 9 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 50 N/m 弹簧上的 3.2 kg 物体被沿正方向拉开 3 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.25 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 3.2 kgk = 50 N/mA = 3 cmt = 1.25 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.1 kg 的物体连在 k = 410 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 14 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.1 kgk = 410 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

光在火石玻璃（n = 1.62）中向与乙醇（n = 1.36）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.62n₂ = 1.36

θ_c = °

16.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光垂直照射在每毫米 200 条刻线的光栅上。求第 3 级极大的角度 θ₃。

N = 200 mm⁻¹λ = 500 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 291.6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/5 = 10.8 s

距离

d = v·t = 27·10.8 = 291.6 m

答案

d = 291.6 m

此时警车的速度为 2v = 54 m/s。

2.运动学

答案: s = 452.1 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·10 = 15 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1.5·10² = 75 m

s₂ = 15·23 = 345 m

s₃ = 15²/(2·3.5) = 32.14 m

总距离

s = 75 + 345 + 32.14 = 452.1 m

答案

s = 452.1 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.905 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0) = 4.905 m/s²

答案

a = 4.905 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 7.086 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 25° + 0.25·cos 25°) = 6.369 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·6.369) = 7.086 m

答案

d = 7.086 m

5.抛体运动

答案: θ = 18.91 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·25/20² = 0.6131

相角

2θ = 37.82° → θ = 18.91°

答案

θ = 18.91°

另一个解为 90° − θ = 71.09°。

6.抛体运动

答案: t = 4.016 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 15° = 27.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 15° = 7.247 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 7.247·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.247 + √(52.52 + 981))/9.81 = 4.016 s

答案

t = 4.016 s

7.圆周运动

答案: v = 2.971 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.6·sin 60° = 0.5196 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.5196·9.81·tan 60°) = 2.971 m/s

答案

v = 2.971 m/s

8.圆周运动

答案: N_top = 47.09 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(15.5 − 2·5) = 107.9 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 4·107.9/5 − 39.24 = 47.09 N

答案

N_top = 47.09 N

9.功和能

答案: T = 5.497 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 20°) = 2.366 m²/s²

最低点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·2.366/2 = 5.497 N

答案

T = 5.497 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 5.497 N。

10.功和能

答案: x = 19.81 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(3 − 0.25·2) = 98.1 J

最大压缩量

½kx² = 98.1 → x = √(2·98.1/5000) = 0.1981 m = 19.81 cm

答案

x = 19.81 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 60 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·5/1500 = 2 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·600·5² = 7500 J

K_after = ½·1500·2² = 3000 J

损失的比例

ΔK/K = 4500/7500 = 60 %

答案

ΔK/K = 60 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 10.32 m/s

动量分量

p_x = 1000·22 = 22000 kg·m/s

p_y = 1500·9 = 13500 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 25812/2500 = 10.32 m/s

答案

v′ = 10.32 m/s

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.1155 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(50/3.2) = 3.953 rad/s

ω·t = 3.953·1.25 = 4.941 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.03·3.953·sin(4.941) = 0.1155 m/s

答案

v = 0.1155 m/s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.61 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(410/3.1) = 11.5 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.14·11.5 = 1.61 m/s

答案

v_max = 1.61 m/s

15.波、声与光学

答案: θ_c = 57.09 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.36/1.62 = 0.8395

临界角

θc = arcsin(0.8395) = 57.09°

答案

θ_c = 57.09°

16.波、声与光学

答案: θ₃ = 17.46 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 3·500 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0.3

θ = 17.46°

答案

θ₃ = 17.46°

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