物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 54 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 18 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 9 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 45°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 7 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 7 kgm₂ = 8 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 75° 的角度抛出，落在 100 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 75°R = 100 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 15° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 31 m/sθ = 15°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 110 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 110 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.8 kg 的小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 9 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.8 kgr = 1.3 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 400 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.15 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.15 kgk = 400 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 1.5 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1700 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 20.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1800 kgm₂ = 1700 kgd = 20.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

把一个 1 kg 的物体挂在一根 k = 130 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 1 kgk = 130 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 30 cm 的薄会聚透镜前 4 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 4 cmf = 30 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.62，包层 n₂ = 1.57。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θ_a。

n₁ = 1.62n₂ = 1.57n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/6 = 2.5 s

答案

t = 2.5 s

2.运动学

答案: t = 4.914 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.914 s

答案

t = 4.914 s

3.牛顿定律

答案: a = 6.243 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.1·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.07071) = 6.243 m/s²

答案

a = 6.243 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.021 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 78.48 N

m₁·g·sin θ = 23.49 N

μ·m₁·g·cos θ = 9.679 N

系统的加速度

a = (78.48 − 23.49 − 9.679)/15 = 3.021 m/s²

答案

a = 3.021 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 44.29 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·100/sin 150°) = 44.29 m/s

答案

v₀ = 44.29 m/s

6.抛体运动

答案: t = 3.423 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 15° = 29.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 15° = 8.023 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 8.023·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.023 + √(64.37 + 588.6))/9.81 = 3.423 s

答案

t = 3.423 s

7.圆周运动

答案: v_max = 17.99 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·110) = 17.99 m/s

答案

v_max = 17.99 m/s (64.77 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 57.69 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.8·9.81 + 0.8·9²/1.3 = 7.848 + 49.85 = 57.69 N

答案

T = 57.69 N

9.功和能

答案: h = 1.359 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·400·0.1² = 2 J

高度

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 2/1.472 = 1.359 m

答案

h = 1.359 m

10.功和能

答案: x = 7.004 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(1.5 − 0.2·2.5) = 9.81 J

最大压缩量

½kx² = 9.81 → x = √(2·9.81/4000) = 0.07004 m = 7.004 cm

答案

x = 7.004 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 8 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 3)/(1.5 + 3)·12 = −4 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 3)·12 = 8 m/s

答案

v′₂ = 8 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 27.57 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·20.5) = 14.18 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3500·14.18/1800 = 27.57 m/s

答案

v₁ = 27.57 m/s

(99.27 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.235 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.6/9.81) = 3.235 s

答案

T = 3.235 s

14.弹簧与单摆

答案: x_max = 15.09 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1·9.81/130 = 0.07546 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.1509 m = 15.09 cm

答案

x_max = 15.09 cm

15.波、声与光学

答案: d_i = −4.615 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/4

d_i = −4.615 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −4.615 cm

16.波、声与光学

答案: θ_a = 23.54 °

包层处的临界角

sin θc = 1.57/1.62 = 0.9691 → θc = 75.73°

数值孔径

NA = √(1.62² − 1.57²) = 0.3994

接收角

θ_a = arcsin(0.3994) = 23.54°

答案

θ_a = 23.54°

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