物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?13.89

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 50 km/ha = −8 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
a = 32 m/s²

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 32 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求火箭达到的最大高度 hmax。

a = 32 m/s²t1 = 2 sg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
θ = 40°a = ?m = 19 kg

一个 19 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 19 kgθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 1.5 kg1 kgμ = 0.1

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 1.5 kgm2 = 1 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 14 m/s70°射程

一个球 从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 14 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²
t = s
6.抛体运动困难
h = 25 mv0​ = 26 m/s55°α = ?

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 26 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 26 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9.81 m/s²
α = °
7.圆周运动中等
r = 3.3 mω = ?

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.3 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。 求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 3.3 mμs = 0.5g = 9.81 m/s²
ω = rad/s
8.圆周运动困难
r = 0.8 mv = ?

一个小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 vmin 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²
vmin = m/s
9.功和能中等
40°d = 3 mμ = 0.3

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 3 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 0.5 kgθ = 40°μ = 0.3d = 3 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
10.功和能困难
h = 1 mL = 5 mμ = 0.1k = 800 N/m

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 1 mL = 5 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
4 kgv = ?12 gh = 8 cm

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 4 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 8 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 4 kgh = 8 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
12.动量与碰撞困难
2 kgv = ?8 g10°L = 1.2 m

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 1.2 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 2 kgL = 1.2 mθ = 10°g = 9.81 m/s²
v = m/s
13.弹簧与单摆中等
L = 2.7 m

一个单摆的摆长为 2.7 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.7 mg = 9.81 m/s²
T = s
14.弹簧与单摆困难
1.8 kgk = 280 N/mA = 15 cm

一个 1.8 kg 的物体连在 k = 280 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。 求它的最大加速度 amax。

m = 1.8 kgk = 280 N/mA = 15 cm
amax = m/s²
15.波、声与光学中等
θc = ?90°火石玻璃, n1​ = 1.62冕牌玻璃, n2​ = 1.50

光在火石玻璃（n = 1.62）中向与冕牌玻璃（n = 1.50）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θc。

n1 = 1.62n2 = 1.50
θc = °
16.波、声与光学困难
Fdo​ = 5 cmR = 20 cm

一个物体位于曲率半径为 20 cm 的凹面镜前 5 cm 处。求像距 di，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

do = 5 cmR = 20 cm
di = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 1.736 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/8 = 1.736 s

答案

t = 1.736 s
2.运动学

答案: hmax = 272.8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 32·2 = 64 m/s
h₁ = ½·32·2² = 64 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 64²/(2·9.81) = 208.8 m
hmax = 64 + 208.8 = 272.8 m

答案

hmax = 272.8 m
3.牛顿定律

答案: a = 5.179 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.15·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1149) = 5.179 m/s²

答案

a = 5.179 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 6.475 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (9.81 − 1.472)/2.5 = 3.335 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 1.5·3.335 + 1.472 = 6.475 N

答案

T = 6.475 N
5.抛体运动

答案: t = 2.682 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 14·cos 70° = 4.788 m/s
vy = v0·sin θ = 14·sin 70° = 13.16 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·13.16/9.81 = 2.682 s

答案

t = 2.682 s
6.抛体运动

答案: α = 64.11 °

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 26·cos 55° = 14.91 m/s
vy0 = 26·sin 55° = 21.3 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

vy = √(21.3² + 2·9.81·25) = 30.73 m/s

落地角度

tan α = vy/vx = 30.73/14.91 → α = 64.11°

答案

α = 64.11°
7.圆周运动

答案: ω = 2.438 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r
μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.5·3.3)) = 2.438 rad/s

答案

ω = 2.438 rad/s
8.圆周运动

答案: vmin = 2.801 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

答案

vmin = 2.801 m/s
9.功和能

答案: Wf = 3.382 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.766 = 3.757 N
F = μN = 0.3·3.757 = 1.127 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 1.127·3 = 3.382 J

答案

Wf = 3.382 J
10.功和能

答案: x = 11.07 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(1 − 0.1·5) = 4.905 J

最大压缩量

½kx² = 4.905 → x = √(2·4.905/800) = 0.1107 m = 11.07 cm

答案

x = 11.07 cm
11.动量与碰撞

答案: v = 418.9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.08) = 1.253 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 4)·1.253/0.012 = 418.9 m/s

答案

v = 418.9 m/s
12.动量与碰撞

答案: v = 150.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.2·(1 − cos 10°) = 0.01823 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.01823) = 0.5981 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.008·0.5981/0.008 = 150.1 m/s

答案

v = 150.1 m/s
13.弹簧与单摆

答案: T = 3.296 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.7/9.81) = 3.296 s

答案

T = 3.296 s
14.弹簧与单摆

答案: amax = 23.33 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(280/1.8) = 12.47 rad/s

最大加速度

amax = A·ω² = 0.15·12.47² = 23.33 m/s²

答案

amax = 23.33 m/s²
15.波、声与光学

答案: θc = 67.81 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.50/1.62 = 0.9259

临界角

θc = arcsin(0.9259) = 67.81°

答案

θc = 67.81°
16.波、声与光学

答案: di = −10 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 10 cm

镜面方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/10 − 1/5
di = −10 cm
F5 cmf = 10 cm

光线图

镜后的虚像

答案

di = −10 cm

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