运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
物理（一）：力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.运动学中等
一架飞机从静止开始，以 1.5 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 600 m 后的速度 v。
v₀ = 0a = 1.5 m/s²s = 600 m
v = m/s
2.运动学困难
从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 9 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。
v₀ = 9 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
一个 6 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 6 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
倾角为 30° 的斜面上有一个 7 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8 kg 物体相连。悬挂物向下运动。 物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。
m1 = 7 kgm2 = 8 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
一个球从水平地面以 30 m/s、与水平方向成 70° 的角度朝 47 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？
v₀ = 30 m/sθ = 70°x = 47 mg = 9.81 m/s²
y = m
6.抛体运动困难
一个球从地面以 33 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 12 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。
v₀ = 33 m/sθ = 55°hroof = 12 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
一个系在长 1.6 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 45° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。 求小球的速度 v。
L = 1.6 mθ = 45°g = 9.81 m/s²
v = m/s
8.圆周运动困难
一辆 2.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 26.4 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 8 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。 求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 Nbottom。
m = 2.5 kgh = 26.4 mR = 8 mg = 9.81 m/s²
Nbottom = N
9.功和能中等
一个玩具发射器有一根刚度为 800 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.2 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。
m = 0.2 kgk = 800 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²
h = m
10.功和能困难
一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。
m = 0.5 kgh = 4 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
一辆以 8 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 2000 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？
m1 = 1600 kgv1 = 8 m/sm2 = 2000 kgv2 = 0
ΔK = J
12.动量与碰撞困难
一个 0.6 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。
m = 0.6 kgvin = 14 m/svout = 5 m/sΔt = 5 ms
J = N·s
13.弹簧与单摆中等
一个单摆的摆长为 1.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。
L = 1.5 mg = 9.81 m/s²
T = s
14.弹簧与单摆困难
一颗以 300 m/s 运动的 8 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2 kg 木块中。木块连在一根 k = 1900 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。
m = 8 gv = 300 m/sM = 2 kgk = 1900 N/m
A = cm
15.波、声与光学中等
对于入射角大于 38° 的每一个角度，透明块内的光在与水（n = 1.33）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n1。
θc = 38°n2 = 1.33
n1 =
16.波、声与光学困难
一根光纤的纤芯 n₁ = 1.62，包层 n₂ = 1.52。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θa。
n1 = 1.62n2 = 1.52n0 = 1.00
θa = °
3溶液
1.运动学
答案: v = 42.43 m/s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
经过该距离后的速度
v = √(2·a·s) = √(2·1.5·600) = 42.43 m/s
答案
v = 42.43 m/s
(152.7 km/h)
2.运动学
答案: hmax = 14.13 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
高出屋顶的高度
0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9.81) = 4.128 m
离地面的高度
hmax = 10 + 4.128 = 14.13 m
答案
hmax = 14.13 m
3.牛顿定律
答案: a = 1.972 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²
答案
a = 1.972 m/s²
4.牛顿定律
答案: T = 59.69 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
沿绳子方向的力
m₂·g = 78.48 N
m₁·g·sin θ = 34.33 N
μ·m₁·g·cos θ = 8.92 N
系统的加速度
a = (78.48 − 34.33 − 8.92)/15 = 2.348 m/s²
由悬挂物求拉力
m2·g − T = m2·a → T = 8·(9.81 − 2.348) = 59.69 N
答案
T = 59.69 N
5.抛体运动
答案: y = 26.21 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
到达墙的时间
vx = 30·cos 70° = 10.26 m/s
t = x/vx = 47/10.26 = 4.581 s
此时的高度
y = 28.19·4.581 − ½·9.81·4.581² = 26.21 m
答案
y = 26.21 m
球到达墙时已经在下落。
6.抛体运动
答案: x = 95.1 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
分解初速度
vx = 18.93 m/s, vy = 27.03 m/s
落到屋顶的时间
较大的根：球正在下降。
12 = 27.03·t − 4.905·t²
t = (27.03 + √(27.03² − 2·9.81·12))/9.81 = 5.024 s
水平距离
x = vx·t = 18.93·5.024 = 95.1 m
答案
x = 95.1 m
7.圆周运动
答案: v = 3.331 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
圆的半径
r = L·sin θ = 1.6·sin 45° = 1.131 m
速率
拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。
v = √(r·g·tan θ) = √(1.131·9.81·tan 45°) = 3.331 m/s
答案
v = 3.331 m/s
8.圆周运动
答案: Nbottom = 186.4 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
由能量守恒求速度
v² = 2·9.81·26.4 = 518 m²/s²
受力
指向圆心为正。
N = m·v²/R + m·g = 2.5·518/8 + 24.53 = 186.4 N
答案
Nbottom = 186.4 N
9.功和能
答案: h = 1.305 m
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
弹簧能量
x = 8 cm = 0.08 m
½kx² = ½·800·0.08² = 2.56 J
高度
m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N
h = ½kx²/(mg) = 2.56/1.962 = 1.305 m
答案
h = 1.305 m
10.功和能
答案: x = 19.96 cm
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
通过粗糙段后剩余的能量
坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。
mgh − μmgL = 4.905·(4 − 0.3·2.5) = 15.94 J
最大压缩量
½kx² = 15.94 → x = √(2·15.94/800) = 0.1996 m = 19.96 cm
答案
x = 19.96 cm
11.动量与碰撞
答案: ΔK = 28444 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
共同速度
v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1600·8/3600 = 3.556 m/s
碰撞前后的动能
Kbefore = ½·1600·8² = 51200 J
Kafter = ½·3600·3.556² = 22756 J
损失的能量
ΔK = 51200 − 22756 = 28444 J
答案
ΔK = 28444 J
损失的能量转化为形变、热和声音。
12.动量与碰撞
答案: J = 11.4 N·s
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
动量的变化量
J = m·Δv = 0.6·(5 + 14) = 11.4 N·s
答案
J = 11.4 N·s
13.弹簧与单摆
答案: T = 2.457 s
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
单摆周期
T = 2π·√(1.5/9.81) = 2.457 s
答案
T = 2.457 s
14.弹簧与单摆
答案: A = 3.886 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
撞击后的速度
V = m·v/(m + M) = 0.008·300/2.008 = 1.195 m/s
角频率
ω = √(k/(m + M)) = √(1900/2.008) = 30.76 rad/s
振幅
A = V/ω = 1.195/30.76 = 0.03886 m = 3.886 cm
答案
A = 3.886 cm
15.波、声与光学
答案: n1 = 2.16
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
透明块的折射率
n₁ = n₂/sin θc = 1.33/0.6157 = 2.16
答案
n1 = 2.16
16.波、声与光学
答案: θa = 34.08 °
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
包层处的临界角
sin θc = 1.52/1.62 = 0.9383 → θc = 69.76°
数值孔径
NA = √(1.62² − 1.52²) = 0.5604
接收角
θa = arcsin(0.5604) = 34.08°
答案
θa = 34.08°
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