物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 54 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 54 km/ht_r = 1.5 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2.5 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 8 s，最后以 4 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 8 sa₃ = −4 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 7.5 kg 和 3 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 3 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 70° 的角度抛出，落在 125 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 70°R = 125 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 34 m/sθ = 50°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 25 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 25 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.9 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.9 kgr = 0.5 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 17 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.3d = 17 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 245 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.25。求物块沿斜坡向上移动 9 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 245 Nθ = 35°μ = 0.25d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 17 m/s 行驶的 1400 kg 汽车撞上一辆静止的 700 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1400 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 19 m/s 向东行驶的 800 kg 汽车与一辆以 13 m/s 向北行驶的 1400 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 800 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 13 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.26 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1 mT = 3.26 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 3.8 kg 的物体连在 k = 150 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.8 kgk = 150 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

观察者以 15 m/s 的速度远离频率为 1000 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光照射到相距 0.15 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求从中央亮条纹到第 5 条亮条纹的距离 y₅。

λ = 500 nmd = 0.15 mmL = 1 mm = 5

y₅ = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 36.56 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 15·1.5 = 22.5 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·8) = 14.06 m

合计

d = 22.5 + 14.06 = 36.56 m

答案

d = 36.56 m

2.运动学

答案: t = 21 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·8 = 20 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 20/4 = 5 s

总时间

t = 8 + 8 + 5 = 21 s

答案

t = 21 s

3.牛顿定律

答案: T = 42.04 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7.5 − 3)·9.81/(7.5 + 3) = 4.204 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 3·(9.81 + 4.204) = 42.04 N

答案

T = 42.04 N

4.牛顿定律

答案: a = 1.784 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 14.71)/11 = 1.784 m/s²

答案

a = 1.784 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 43.68 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·125/sin 140°) = 43.68 m/s

答案

v₀ = 43.68 m/s

6.抛体运动

答案: t = 7.046 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 50° = 21.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 50° = 26.05 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 26.05·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (26.05 + √(678.4 + 1177))/9.81 = 7.046 s

答案

t = 7.046 s

7.圆周运动

答案: v_max = 8.578 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·25) = 8.578 m/s

答案

v_max = 8.578 m/s (30.88 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 79.44 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.9·9.81 + 1.9·4²/0.5 = 18.64 + 60.8 = 79.44 N

答案

T = 79.44 N

9.功和能

答案: v = 8.951 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·17·(0.5 − 0.3·0.866)) = 8.951 m/s

答案

v = 8.951 m/s

10.功和能

答案: v = 9.114 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 112.5 N

μ·mg·cos θ = 40.18 N

功–能关系

½mv² = (245 − 152.7)·9 = 830.6 J

v = √(2·830.6/20) = 9.114 m/s

答案

v = 9.114 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 67433 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·17/2100 = 11.33 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1400·17² = 202300 J

K_after = ½·2100·11.33² = 134867 J

损失的能量

ΔK = 202300 − 134867 = 67433 J

答案

ΔK = 67433 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 10.78 m/s

动量分量

p_x = 800·19 = 15200 kg·m/s

p_y = 1400·13 = 18200 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 23712/2200 = 10.78 m/s

答案

v′ = 10.78 m/s

13.弹簧与单摆

答案: g = 3.715 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/3.26² = 3.715 m/s²

答案

g = 3.715 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 6.316 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(150/3.8) = 6.283 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.16·6.283² = 6.316 m/s²

答案

a_max = 6.316 m/s²

15.波、声与光学

答案: f′ = 956.3 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 15)/(343 + 0)

f′ = 956.3 Hz

答案

f′ = 956.3 Hz

16.波、声与光学

答案: y₅ = 16.67 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·1/(0.15 × 10⁻³) = 3.333 mm

第 5 条条纹

y₅ = 5·3.333 = 16.67 mm

答案

y₅ = 16.67 mm

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