物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.8 s，之后汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 0.8 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 16 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的雪橇被一根与水平方向成 25° 向上的绳子以 90 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 25 kgF = 90 Nθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 12 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 12 m/sθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 36 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 25 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 25 m/sθ = 65°h = 10 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 120 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 120 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 9.5 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 h_min 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 9.5 mv₀ = 0

h_min = m

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 60 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 60 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 2 mL = 3 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 33 m/s 水平运动的 15 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。2 kg 的碎片以 80 m/s 继续向前运动。求 13 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 15 kgu = 33 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 80 m/sm₂ = 13 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 30 m/s 撞到墙上，并以 8 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgv_in = 30 m/sv_out = 8 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 60 N/m 弹簧上的 3.5 kg 物体在无摩擦表面上以 9 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 1 cm 时的速度 v。

m = 3.5 kgk = 60 N/mA = 9 cmx = 1 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 250 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 12 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 10 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 250 N/mA = 12 cmx = 10 cm

U = J

15.波、声与光学中等

一个高 3 cm 的物体位于焦距为 5 cm 的薄会聚透镜前 20 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 3 cmd_o = 20 cmf = 5 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.5，包层 n₂ = 1.42。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.5n₂ = 1.42

NA =

3溶液

1.运动学

答案: d = 28.65 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·0.8 = 11.11 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·5.5) = 17.54 m

合计

d = 11.11 + 17.54 = 28.65 m

答案

d = 28.65 m

2.运动学

答案: h_max = 38.05 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9.81) = 13.05 m

离地面的高度

h_max = 25 + 13.05 = 38.05 m

答案

h_max = 38.05 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.191 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 90·sin 25° = 207.2 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 81.57 − 51.8

a = 29.76/25 = 1.191 m/s²

答案

a = 1.191 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 12.51 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.1·cos 30°) = 5.755 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·5.755) = 12.51 m

答案

d = 12.51 m

5.抛体运动

答案: x = 130.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 40° = 27.58 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 40° = 23.14 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·23.14/9.81 = 4.718 s

水平距离

x = v_x·t = 27.58·4.718 = 130.1 m

答案

x = 130.1 m

6.抛体运动

答案: H = 36.17 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 25·sin 65° = 22.66 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 22.66²/(2·9.81) = 26.17 m

离地面的高度

H = 10 + 26.17 = 36.17 m

答案

H = 36.17 m

7.圆周运动

答案: v_max = 28.71 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·120) = 28.71 m/s

答案

v_max = 28.71 m/s (103.3 km/h)

8.圆周运动

答案: h_min = 23.75 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·9.5 = 23.75 m

答案

h_min = 23.75 m

9.功和能

答案: d = 35.39 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16.67²/(2·0.4·9.81) = 35.39 m

答案

d = 35.39 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 17.44 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(2 − 0.15·3) = 30.41 J

最大压缩量

½kx² = 30.41 → x = √(2·30.41/2000) = 0.1744 m = 17.44 cm

答案

x = 17.44 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 25.77 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 15·33 = 495 kg·m/s

碰撞后的动量

495 = 2·80 + 13·v′₂

v′₂ = (495 − 160)/13 = 25.77 m/s

答案

v′₂ = 25.77 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 20.9 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(8 + 30) = 20.9 N·s

答案

J = 20.9 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.3703 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(60/3.5) = 4.14 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 4.14·√(0.09² − 0.01²) = 0.3703 m/s

答案

v = 0.3703 m/s

14.弹簧与单摆

答案: U = 1.25 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·250·0.12² = 1.8 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·250·0.1² = 1.25 J

答案

U = 1.25 J

15.波、声与光学

答案: h_i = −1 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/20

d_i = 6.667 cm

放大率与像高

m = −6.667/20 = −0.3333

h_i = −0.3333·3 = −1 cm

答案

h_i = −1 cm

16.波、声与光学

答案: NA = 0.4833

包层处的临界角

sin θc = 1.42/1.5 = 0.9467 → θc = 71.2°

数值孔径

NA = √(1.5² − 1.42²) = 0.4833

答案

NA = 0.4833

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics