物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?15

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 54 km/ha = −5.5 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
d = ?

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

ttotal = 3.7 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
θ = 20°a = ?m = 13 kg

一个 13 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 13 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 8.5 kg5.5 kgμ = 0.2

水平桌面上一个 8.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 8.5 kgm2 = 5.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = ?75°R = 150 m

一个球从水平地面以与水平方向成 75° 的角度抛出，落在 150 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v0。

θ = 75°R = 150 mg = 9.81 m/s²
v0 = m/s
6.抛体运动困难
h = 5 mv0​ = 32 m/s45°x = ?

一个球 从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 32 m/sθ = 45°h = 5 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
r = 25 m13 m/s

一辆 1400 kg 的汽车以 13 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 25 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1400 kgv = 13 m/sr = 25 mg = 9.81 m/s²
N = N
8.圆周运动困难
r = 0.7 m8 m/svtop​ = ?

一个 2 kg 的球系在长 0.7 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 Ttop。

m = 2 kgr = 0.7 mvbottom = 8 m/sg = 9.81 m/s²
Ttop = N
9.功和能中等
120 km/h

一辆汽车在水平路面上以 120 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。求制动距离 d。

v = 120 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²
d = m
10.功和能困难
F = 220 N25°μ = 0.320 kg

一个 20 kg 的物块从 25° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 220 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 4 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 220 Nθ = 25°μ = 0.3d = 4 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
2000 kg17 m/s900 kg

一辆以 17 m/s 行驶的 2000 kg 汽车撞上一辆静止的 900 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m1 = 2000 kgv1 = 17 m/sm2 = 900 kgv2 = 0
ΔK = J
12.动量与碰撞困难
800 kgv1​ = ?1300 kg

一辆 800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1300 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 13 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v1。

m1 = 800 kgm2 = 1300 kgd = 13 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²
v1 = m/s
13.弹簧与单摆中等
L = 0.6 mT = 0.98 s

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.6 m 的单摆在小幅摆动时周期为 0.98 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.6 mT = 0.98 s
g = m/s²
14.弹簧与单摆困难
3.8 kgk = 200 N/mA = 6 cm

一个 3.8 kg 的物体连在 k = 200 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 6 cm 后释放。 求它的最大速度 vmax。

m = 3.8 kgk = 200 N/mA = 6 cm
vmax = m/s
15.波、声与光学中等
FFdo​ = 6 cmf = −5 cm

一个物体位于焦距为 5 cm 的薄发散透镜前 6 cm 处。求像距 di。使用符号规定 1/f = 1/do + 1/di（发散透镜 f < 0，虚像 di < 0）。

do = 6 cmf = −5 cm
di = cm
16.波、声与光学困难
λ = 480 nmd = 0.5 mmL = 2 m

波长为 480 nm 的光照射到相距 0.5 mm 的两条缝上。屏距离缝 2 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 480 nmd = 0.5 mmL = 2 m
Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.727 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/5.5 = 2.727 s

答案

t = 2.727 s
2.运动学

答案: d = 60.86 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.7 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 1269 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1269))/(2·4.905) = 3.523 s

深度

d = ½·9.81·3.523² = 60.86 m

答案

d = 60.86 m
3.牛顿定律

答案: a = 0.5897 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

答案

a = 0.5897 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 2.663 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (53.96 − 16.68)/14 = 2.663 m/s²

答案

a = 2.663 m/s²
5.抛体运动

答案: v0 = 54.25 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·150/sin 150°) = 54.25 m/s

答案

v0 = 54.25 m/s
6.抛体运动

答案: x = 109.2 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 32·cos 45° = 22.63 m/s
vy = v0·sin θ = 32·sin 45° = 22.63 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 22.63·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (22.63 + √(512 + 98.1))/9.81 = 4.824 s

水平距离

x = vx·t = 22.63·4.824 = 109.2 m

答案

x = 109.2 m
7.圆周运动

答案: N = 4270 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r
N = 1400·9.81 − 1400·13²/25 = 13734 − 9464 = 4270 N

答案

N = 4270 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: Ttop = 84.76 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

vtop² = 8² − 4·9.81·0.7 = 36.53 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·vtop²/r
T = 2·36.53/0.7 − 2·9.81 = 84.76 N

答案

Ttop = 84.76 N
9.功和能

答案: d = 70.79 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.8·9.81) = 70.79 m

答案

d = 70.79 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 5.787 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N
mg·sin θ = 82.92 N
μ·mg·cos θ = 53.35 N

功–能关系

½mv² = (220 − 136.3)·4 = 334.9 J
v = √(2·334.9/20) = 5.787 m/s

答案

v = 5.787 m/s
11.动量与碰撞

答案: ΔK = 89690 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 2000·17/2900 = 11.72 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·2000·17² = 289000 J
Kafter = ½·2900·11.72² = 199310 J

损失的能量

ΔK = 289000 − 199310 = 89690 J

答案

ΔK = 89690 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v1 = 29.64 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·13) = 11.29 m/s

碰撞中的动量

m1·v1 = (m1 + m2)·V → v1 = 2100·11.29/800 = 29.64 m/s

答案

v1 = 29.64 m/s
(106.7 km/h)
13.弹簧与单摆

答案: g = 24.66 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.6/0.98² = 24.66 m/s²

答案

g = 24.66 m/s²
14.弹簧与单摆

答案: vmax = 0.4353 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(200/3.8) = 7.255 rad/s

最大速度

vmax = A·ω = 0.06·7.255 = 0.4353 m/s

答案

vmax = 0.4353 m/s
15.波、声与光学

答案: di = −2.727 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/(−5) − 1/6
di = −2.727 cm
FF6 cmf = −5 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

di = −2.727 cm
16.波、声与光学

答案: Δy = 1.92 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·2/(0.5 × 10⁻³) = 1.92 mm

答案

Δy = 1.92 mm

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