物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 108 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 108 km/ht_r = 1.5 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.1 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.1 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 16 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 16 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9.5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9.5 m/sθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 55° 的角度抛出，落在 120 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 55°R = 120 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 15 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 15 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 35 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 35 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.1 kg 的球系在长 0.9 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 11 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.1 kgr = 0.9 mv_bottom = 11 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 7 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.35d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.2）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 4 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 3 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 4 kgm₂ = 4 kgμ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.3 kgv_in = 10 m/sv_out = 13 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.7 kg 的物体连在 k = 400 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 19 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.7 kgk = 400 N/mA = 19 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 30 cm 的薄会聚透镜前 25 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 25 cmf = 30 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 30 cm 的凸面镜前 50 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 50 cmR = 30 cm

m =

3溶液

1.运动学

答案: d = 145 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 30·1.5 = 45 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·4.5) = 100 m

合计

d = 45 + 100 = 145 m

答案

d = 145 m

2.运动学

答案: d = 20.42 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.1 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 720.3 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·720.3))/(2·4.905) = 2.04 s

深度

d = ½·9.81·2.04² = 20.42 m

答案

d = 20.42 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.356 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²

答案

a = 2.356 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 8.385 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.3·cos 15°) = 5.382 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·5.382) = 8.385 m

答案

d = 8.385 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 35.39 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·120/sin 110°) = 35.39 m/s

答案

v₀ = 35.39 m/s

6.抛体运动

答案: α = 72.34 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 15·cos 50° = 9.642 m/s

v_y0 = 15·sin 50° = 11.49 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(11.49² + 2·9.81·40) = 30.28 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 30.28/9.642 → α = 72.34°

答案

α = 72.34°

7.圆周运动

答案: v_max = 11.72 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·35) = 11.72 m/s

答案

v_max = 11.72 m/s (42.19 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 93.93 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 11² − 4·9.81·0.9 = 85.68 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.1·85.68/0.9 − 1.1·9.81 = 93.93 N

答案

T_top = 93.93 N

9.功和能

答案: v = 7.173 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.6428 − 0.35·0.766)) = 7.173 m/s

答案

v = 7.173 m/s

10.功和能

答案: v = 4.852 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 39.24·3 = 117.7 J

μ·m₁g·d = 0.2·39.24·3 = 23.54 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 94.18 → v = √(2·94.18/8) = 4.852 m/s

答案

v = 4.852 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −1.333 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 2.5)/(0.5 + 2.5)·2 = −1.333 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 2.5)·2 = 0.6667 m/s

答案

v′₁ = −1.333 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 138 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(13 + 10) = 6.9 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 6.9/0.05 = 138 N

答案

F_avg = 138 N

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.235 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.6/9.81) = 3.235 s

答案

T = 3.235 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.976 m/s

角频率

ω = √(400/3.7) = 10.4 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.19·10.4 = 1.976 m/s

答案

v_max = 1.976 m/s

15.波、声与光学

答案: d_i = −150 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/25

d_i = −150 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −150 cm

16.波、声与光学

答案: m = 0.2308

焦距

f = −R/2 = −15 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/50

d_i = −11.54 cm

放大率

m = −(−11.54)/50 = 0.2308

答案

m = 0.2308

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics