物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 36 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 17 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 19 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 19 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 4.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 5.5 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 45° 的角度抛出，落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 45°R = 45 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 55°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 60 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 60 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.2 kg 的球系在长 0.7 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.2 kgr = 0.7 mv_bottom = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 15 m，动摩擦因数为 0.2。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 45°μ = 0.2d = 15 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 3.5 mL = 1.5 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 3 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 3.5 kgh = 3 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1100 kg 的汽车撞上一辆停放的 1800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 21 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1100 kgm₂ = 1800 kgd = 21 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 220 N/m 弹簧上的 1.1 kg 物体被沿正方向拉开 11 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.95 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 1.1 kgk = 220 N/mA = 11 cmt = 0.95 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个 2.2 kg 的物体连在 k = 50 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 7 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.2 kgk = 50 N/mA = 7 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一个高 3 cm 的物体位于焦距为 10 cm 的薄会聚透镜前 8 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 3 cmd_o = 8 cmf = 10 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 15 cm：透镜 1 的 f₁ = 5 cm，透镜 2 的 f₂ = 5 cm。一个物体位于透镜 1 前 18 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 5 cmf₂ = 5 cms = 15 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.222 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/4.5 = 2.222 s

答案

t = 2.222 s

2.运动学

答案: h_max = 19.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

离地面的高度

h_max = 5 + 14.73 = 19.73 m

答案

h_max = 19.73 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.618 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

答案

a = 3.618 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 38.94 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 53.96 N

m₁·g·sin θ = 18.66 N

μ·m₁·g·cos θ = 8.002 N

系统的加速度

a = (53.96 − 18.66 − 8.002)/10 = 2.73 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 5.5·(9.81 − 2.73) = 38.94 N

答案

T = 38.94 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 21.01 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·45/sin 90°) = 21.01 m/s

答案

v₀ = 21.01 m/s

6.抛体运动

答案: x = 102.6 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 55° = 16.63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 55° = 23.76 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 23.76·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23.76 + √(564.3 + 784.8))/9.81 = 6.166 s

水平距离

x = v_x·t = 16.63·6.166 = 102.6 m

答案

x = 102.6 m

7.圆周运动

答案: v_max = 15.34 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·60) = 15.34 m/s

答案

v_max = 15.34 m/s (55.24 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 50.85 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 8² − 4·9.81·0.7 = 36.53 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.2·36.53/0.7 − 1.2·9.81 = 50.85 N

答案

T_top = 50.85 N

9.功和能

答案: W_f = 83.24 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.7071 = 27.75 N

F = μN = 0.2·27.75 = 5.549 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 5.549·15 = 83.24 J

答案

W_f = 83.24 J

10.功和能

答案: x = 25.64 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(3.5 − 0.1·1.5) = 131.5 J

最大压缩量

½kx² = 131.5 → x = √(2·131.5/4000) = 0.2564 m = 25.64 cm

答案

x = 25.64 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 269.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.03) = 0.7672 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 3.5)·0.7672/0.01 = 269.3 m/s

答案

v = 269.3 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 37.84 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·21) = 14.35 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·14.35/1100 = 37.84 m/s

答案

v₁ = 37.84 m/s

(136.2 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: x = 7.104 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(220/1.1) = 14.14 rad/s

ω·t = 14.14·0.95 = 13.44 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 11·cos(13.44) = 7.104 cm

答案

x = 7.104 cm

14.弹簧与单摆

答案: E = 0.1225 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(50/2.2) = 4.767 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·50·0.07² = 0.1225 J

答案

E = 0.1225 J

15.波、声与光学

答案: h_i = 15 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/8

d_i = −40 cm

放大率与像高

m = −(−40)/8 = 5

h_i = 5·3 = 15 cm

答案

h_i = 15 cm

16.波、声与光学

答案: d_i2 = 13.12 cm

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/5 − 1/18 → d_i1 = 6.923 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 15 − 6.923 = 8.077 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/5 − 1/8.077 → d_i2 = 13.12 cm

答案

d_i2 = 13.12 cm

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