物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 9 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 9 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 150 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 35 kgF = 150 Nθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 30 m/s、与水平方向成 40° 的角度朝 27 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 30 m/sθ = 40°x = 27 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 16 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它落地时的速度 v。

v₀ = 16 m/sθ = 40°h = 40 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 65 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 65 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 14 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.35d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 5 mL = 2.5 mμ = 0.1k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 31 m/s 水平运动的 17 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。6 kg 的碎片以 43 m/s 继续向前运动。求 11 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 17 kgu = 31 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 43 m/sm₂ = 11 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 22 m/s 撞到墙上，并以 6 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.1 kgv_in = 22 m/sv_out = 6 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 4.49 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.9 mT = 4.49 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 2.8 kg 的物体连在 k = 320 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 14 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.8 kgk = 320 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

光在金刚石（n = 2.42）中向与甘油（n = 1.47）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 2.42n₂ = 1.47

θ_c = °

16.波、声与光学困难

波长为 532 nm 的光照射到相距 0.1 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求从中央亮条纹到第 4 条亮条纹的距离 y₄。

λ = 532 nmd = 0.1 mmL = 3 mm = 4

y₄ = mm

3溶液

1.运动学

答案: s = 16.07 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·7) = 16.07 m

答案

s = 16.07 m

2.运动学

答案: h_max = 19.13 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9.81) = 4.128 m

离地面的高度

h_max = 15 + 4.128 = 19.13 m

答案

h_max = 19.13 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.673 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 150·sin 35° = 257.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 122.9 − 64.33

a = 58.54/35 = 1.673 m/s²

答案

a = 1.673 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.995 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 10.79)/9.5 = 2.995 m/s²

答案

a = 2.995 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 15.89 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 30·cos 40° = 22.98 m/s

t = x/v_x = 27/22.98 = 1.175 s

此时的高度

y = 19.28·1.175 − ½·9.81·1.175² = 15.89 m

答案

y = 15.89 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: v = 32.26 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 16·cos 40° = 12.26 m/s

v_y0 = 16·sin 40° = 10.28 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(10.28² + 2·9.81·40) = 29.84 m/s

落水速度

v = √(12.26² + 29.84²) = 32.26 m/s

答案

v = 32.26 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: v_max = 17.86 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·65) = 17.86 m/s

答案

v_max = 17.86 m/s (64.28 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.836 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.5) = 3.836 m/s

答案

v_min = 3.836 m/s

9.功和能

答案: v = 10.14 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.6428 − 0.35·0.766)) = 10.14 m/s

答案

v = 10.14 m/s

10.功和能

答案: x = 48.27 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(5 − 0.1·2.5) = 233 J

最大压缩量

½kx² = 233 → x = √(2·233/2000) = 0.4827 m = 48.27 cm

答案

x = 48.27 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 24.45 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 17·31 = 527 kg·m/s

碰撞后的动量

527 = 6·43 + 11·v′₂

v′₂ = (527 − 258)/11 = 24.45 m/s

答案

v′₂ = 24.45 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 2.8 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(6 + 22) = 2.8 N·s

答案

J = 2.8 N·s

13.弹簧与单摆

答案: g = 3.721 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/4.49² = 3.721 m/s²

答案

g = 3.721 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.497 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(320/2.8) = 10.69 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.14·10.69 = 1.497 m/s

答案

v_max = 1.497 m/s

15.波、声与光学

答案: θ_c = 37.4 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.47/2.42 = 0.6074

临界角

θc = arcsin(0.6074) = 37.4°

答案

θ_c = 37.4°

16.波、声与光学

答案: y₄ = 63.84 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·3/(0.1 × 10⁻³) = 15.96 mm

第 4 条条纹

y₄ = 4·15.96 = 63.84 mm

答案

y₄ = 63.84 mm

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