物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 45 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.1 s，之后汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 45 km/ht_r = 1.1 sa = −6 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.8 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 25° 向上的绳子以 140 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 140 Nθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 7 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 7 m/sθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 24 m/s、与水平方向成 65° 的角度朝 27 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 24 m/sθ = 65°x = 27 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 18 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 18 m/sθ = 50°h = 20 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 110 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 110 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 190 m 的弯道倾斜 8°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 190 mθ = 8°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一辆 1200 kg 的汽车以恒定的 54 km/h 驶上 6° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 700 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1200 kgθ = 6°F_r = 700 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

在 40° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 5 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 5 kgk = 3000 N/mx = 20 cmθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 11 m/s 向东行驶的 1800 kg 汽车与一辆以 20 m/s 向北行驶的 900 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1800 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 20 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.4 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 1.3 kg 的物体连在 k = 30 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 9 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.3 kgk = 30 N/mA = 9 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

两端开口的管的第 4 次谐波必须为 1372 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 4f₄ = 1372 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

波长为 450 nm 的光照射到相距 0.1 mm 的两条缝上。屏距离缝 2.5 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 450 nmd = 0.1 mmL = 2.5 m

Δy = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 26.77 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 12.5·1.1 = 13.75 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·6) = 13.02 m

合计

d = 13.75 + 13.02 = 26.77 m

答案

d = 26.77 m

2.运动学

答案: d = 99.73 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1646 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1646))/(2·4.905) = 4.509 s

深度

d = ½·9.81·4.509² = 99.73 m

答案

d = 99.73 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.974 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 140·sin 25° = 137 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 126.9 − 27.41

a = 99.48/20 = 4.974 m/s²

答案

a = 4.974 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 4.713 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.2·cos 20°) = 5.199 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·5.199) = 4.713 m

答案

d = 4.713 m

5.抛体运动

答案: y = 23.14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 24·cos 65° = 10.14 m/s

t = x/v_x = 27/10.14 = 2.662 s

此时的高度

y = 21.75·2.662 − ½·9.81·2.662² = 23.14 m

答案

y = 23.14 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: α = 64.39 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 18·cos 50° = 11.57 m/s

v_y0 = 18·sin 50° = 13.79 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(13.79² + 2·9.81·20) = 24.14 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 24.14/11.57 → α = 64.39°

答案

α = 64.39°

7.圆周运动

答案: v_max = 17.99 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·110) = 17.99 m/s

答案

v_max = 17.99 m/s (64.77 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 27.47 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(190·9.81·0.3867/0.9555) = 27.47 m/s

答案

v_max = 27.47 m/s

(98.88 km/h)

9.功和能

答案: P = 28.96 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 6° = 1231 N

F = 1231 + 700 = 1931 N

功率

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1931·15 = 28958 W = 28.96 kW

答案

P = 28.96 kW

10.功和能

答案: d = 1.402 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·3000·0.2² = 60 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 60/(49.05·(0.6428 + 0.3·0.766)) = 1.402 m

答案

d = 1.402 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 4.5)/(1.5 + 4.5)·12 = −6 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4.5)·12 = 6 m/s

答案

v′₂ = 6 m/s

12.动量与碰撞

答案: v′ = 9.911 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 1800·11 = 19800 kg·m/s

p_y = 900·20 = 18000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 26759/2700 = 9.911 m/s

答案

v′ = 9.911 m/s

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.487 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.4/2π)² = 0.487 m

答案

L = 0.487 m

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.4323 m/s

角频率

ω = √(30/1.3) = 4.804 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.09·4.804 = 0.4323 m/s

答案

v_max = 0.4323 m/s

15.波、声与光学

答案: L = 0.5 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/1372 = 0.25 m

长度

L = nλ/2 = 4·0.25/2 = 0.5 m

答案

L = 0.5 m

16.波、声与光学

答案: Δy = 11.25 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·2.5/(0.1 × 10⁻³) = 11.25 mm

答案

Δy = 11.25 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics