物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 60 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 24 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 24 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 35° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 20 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 5.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 10 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 10 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 70° 的角度抛出，落在 95 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 70°R = 95 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 22 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 5 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 22 m/sθ = 45°h_roof = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 130 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 130 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.9 kg 的球系在长 0.9 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.9 kgr = 0.9 mv_bottom = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 60 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.8。求制动距离 d。

v = 60 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 12.8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 10 kgh = 12.8 mR = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 15 m/s 水平运动的 20 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。2 kg 的碎片以 75 m/s 继续向前运动。求 18 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 20 kgu = 15 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 75 m/sm₂ = 18 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 18 m/s 向东行驶的 2000 kg 汽车与一辆以 14 m/s 向北行驶的 1700 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 2000 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1700 kgv₂ = 14 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.1 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 2.8 kg 的物体连在 k = 170 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.8 kgk = 170 N/mA = 15 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一个高 1 cm 的物体位于焦距为 8 cm 的薄发散透镜前 40 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 1 cmd_o = 40 cmf = −8 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.55，包层 n₂ = 1.52。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θ_a。

n₁ = 1.55n₂ = 1.52n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.762 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16.67/3.5 = 4.762 s

答案

t = 4.762 s

2.运动学

答案: h_max = 372.2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 24·3 = 72 m/s

h₁ = ½·24·3² = 108 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 72²/(2·9.81) = 264.2 m

h_max = 108 + 264.2 = 372.2 m

答案

h_max = 372.2 m

3.牛顿定律

答案: F = 144.7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 112.5 + 32.14 = 144.7 N

答案

F = 144.7 N

4.牛顿定律

答案: a = 4.811 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 18.45 N

μ·m₁·g·cos θ = 5.07 N

系统的加速度

a = (98.1 − 18.45 − 5.07)/15.5 = 4.811 m/s²

答案

a = 4.811 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 38.08 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·95/sin 140°) = 38.08 m/s

答案

v₀ = 38.08 m/s

6.抛体运动

答案: x = 43.69 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 15.56 m/s, v_y = 15.56 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

5 = 15.56·t − 4.905·t²

t = (15.56 + √(15.56² − 2·9.81·5))/9.81 = 2.809 s

水平距离

x = v_x·t = 15.56·2.809 = 43.69 m

答案

x = 43.69 m

7.圆周运动

答案: v_max = 29.88 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·130) = 29.88 m/s

答案

v_max = 29.88 m/s (107.6 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 28.1 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 8.5² − 4·9.81·0.9 = 36.93 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.9·36.93/0.9 − 0.9·9.81 = 28.1 N

答案

T_top = 28.1 N

9.功和能

答案: d = 17.7 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16.67²/(2·0.8·9.81) = 17.7 m

答案

d = 17.7 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 9.704 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(12.8 − 8) = 94.18 m²/s²

v = 9.704 m/s

答案

v = 9.704 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 8.333 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 20·15 = 300 kg·m/s

碰撞后的动量

300 = 2·75 + 18·v′₂

v′₂ = (300 − 150)/18 = 8.333 m/s

答案

v′₂ = 8.333 m/s

12.动量与碰撞

答案: v′ = 11.66 m/s

动量分量

p_x = 2000·18 = 36000 kg·m/s

p_y = 1700·14 = 23800 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 43156/3700 = 11.66 m/s

答案

v′ = 11.66 m/s

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.096 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.1/2π)² = 1.096 m

答案

L = 1.096 m

14.弹簧与单摆

答案: E = 1.912 J

角频率

ω = √(170/2.8) = 7.792 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·170·0.15² = 1.912 J

答案

E = 1.912 J

15.波、声与光学

答案: h_i = 0.1667 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−8) − 1/40

d_i = −6.667 cm

放大率与像高

m = −(−6.667)/40 = 0.1667

h_i = 0.1667·1 = 0.1667 cm

答案

h_i = 0.1667 cm

16.波、声与光学

答案: θ_a = 17.67 °

包层处的临界角

sin θc = 1.52/1.55 = 0.9806 → θc = 78.71°

数值孔径

NA = √(1.55² − 1.52²) = 0.3035

接收角

θ_a = arcsin(0.3035) = 17.67°

答案

θ_a = 17.67°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics