运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
物理（一）：力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.运动学中等
一架飞机从静止开始，以 3.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1000 m 后的速度 v。
v₀ = 0a = 3.75 m/s²s = 1000 m
v = m/s
2.运动学困难
球 A 从 30 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 29 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 它们在离地面多高处 y 相遇？
H = 30 mv0B = 29 m/sg = 9.81 m/s²
y = m
3.牛顿定律中等
一个 2 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 2 kgθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。
m1 = 2.5 kgm2 = 2 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
一个球 从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。
v0 = 34 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 14 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。
v₀ = 14 m/sθ = 55°h = 55 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.圆周运动中等
一个系在长 0.8 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 20° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。 求转一圈所需的时间 T。
L = 0.8 mθ = 20°g = 9.81 m/s²
T = s
8.圆周运动困难
一辆 2 kg 的小车在无摩擦轨道上从 41.65 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 8.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。 求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 Nbottom。
m = 2 kgh = 41.65 mR = 8.5 mg = 9.81 m/s²
Nbottom = N
9.功和能中等
一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 3 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。
m = 0.1 kgk = 2000 N/mx = 3 cmg = 9.81 m/s²
h = m
10.功和能困难
一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。 求物块到达弹簧时的速度 v。
m = 5 kgh = 4 mL = 2.5 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 11 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。
m = 8 gM = 3 kgh = 11 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
12.动量与碰撞困难
在一个十字路口，一辆以 18 m/s 向东行驶的 1300 kg 汽车与一辆以 24 m/s 向北行驶的 1600 kg 汽车相撞。两车卡在一起。 求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。
m1 = 1300 kgv1 = 18 m/s (E)m2 = 1600 kgv2 = 24 m/s (N)
v′ = m/s
13.弹簧与单摆中等
一个连在 k = 200 N/m 弹簧上的 1.2 kg 物体被沿正方向拉开 12 cm，在 t = 0 时由静止释放。 求 t = 0.9 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。
m = 1.2 kgk = 200 N/mA = 12 cmt = 0.9 s
x = cm
14.弹簧与单摆困难
一个 2 kg 的物体连在 k = 390 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。 求它的最大加速度 amax。
m = 2 kgk = 390 N/mA = 3 cm
amax = m/s²
15.波、声与光学中等
两端固定的弦的基频（一次谐波）必须为 92 Hz；波在其上以 120 m/s 传播。求其长度 L。
v = 120 m/sn = 1f1 = 92 Hz
L = m
16.波、声与光学困难
一个物体位于曲率半径为 40 cm 的凸面镜前 25 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。
do = 25 cmR = 40 cm
m =
3溶液
1.运动学
答案: v = 86.6 m/s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
经过该距离后的速度
v = √(2·a·s) = √(2·3.75·1000) = 86.6 m/s
答案
v = 86.6 m/s
(311.8 km/h)
2.运动学
答案: y = 24.75 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
相遇时间
向上为正，地面为 y = 0。
30 − ½g·t² = 29·t − ½g·t² → t = 30/29 = 1.034 s
相遇高度
y = 29·1.034 − ½·9.81·1.034² = 24.75 m
答案
y = 24.75 m
3.牛顿定律
答案: a = 5.179 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 40° − 0.15·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1149) = 5.179 m/s²
答案
a = 5.179 m/s²
4.牛顿定律
答案: a = 3.27 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (19.62 − 4.905)/4.5 = 3.27 m/s²
答案
a = 3.27 m/s²
5.抛体运动
答案: x = 75.75 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 34·cos 70° = 11.63 m/s
vy = v0·sin θ = 34·sin 70° = 31.95 m/s
飞行时间
起点与落点等高：t = 2vy/g。
t = 2·31.95/9.81 = 6.514 s
水平距离
x = vx·t = 11.63·6.514 = 75.75 m
答案
x = 75.75 m
6.抛体运动
答案: H = 61.7 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
竖直方向的初速度
vy = 14·sin 55° = 11.47 m/s
高出悬崖的上升高度
Δh = vy²/(2g) = 11.47²/(2·9.81) = 6.703 m
离地面的高度
H = 55 + 6.703 = 61.7 m
答案
H = 61.7 m
7.圆周运动
答案: T = 1.739 s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
圆的半径
r = L·sin θ = 0.8·sin 20° = 0.2736 m
速率
拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。
v = √(r·g·tan θ) = √(0.2736·9.81·tan 20°) = 0.9884 m/s
周期
T = 2π·r/v = 2π·0.2736/0.9884 = 1.739 s
答案
T = 1.739 s
8.圆周运动
答案: Nbottom = 211.9 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
由能量守恒求速度
v² = 2·9.81·41.65 = 817.2 m²/s²
受力
指向圆心为正。
N = m·v²/R + m·g = 2·817.2/8.5 + 19.62 = 211.9 N
答案
Nbottom = 211.9 N
9.功和能
答案: h = 0.9174 m
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
弹簧能量
x = 3 cm = 0.03 m
½kx² = ½·2000·0.03² = 0.9 J
高度
m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N
h = ½kx²/(mg) = 0.9/0.981 = 0.9174 m
答案
h = 0.9174 m
10.功和能
答案: v = 8.137 m/s
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
通过粗糙段后剩余的能量
坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。
mgh − μmgL = 49.05·(4 − 0.25·2.5) = 165.5 J
到达弹簧时的速度
½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.375) = 8.137 m/s
答案
v = 8.137 m/s
11.动量与碰撞
答案: v = 552.4 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
撞击后的摆动
V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.11) = 1.469 m/s
碰撞
m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 3)·1.469/0.008 = 552.4 m/s
答案
v = 552.4 m/s
12.动量与碰撞
答案: v′ = 15.51 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
动量分量
px = 1300·18 = 23400 kg·m/s
py = 1600·24 = 38400 kg·m/s
残骸的速度
v′ = √(px² + py²)/(m1 + m2) = 44968/2900 = 15.51 m/s
答案
v′ = 15.51 m/s
13.弹簧与单摆
答案: x = 7.005 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = √(200/1.2) = 12.91 rad/s
ω·t = 12.91·0.9 = 11.62 rad
位移
x = A·cos(ω·t) = 12·cos(11.62) = 7.005 cm
答案
x = 7.005 cm
14.弹簧与单摆
答案: amax = 5.85 m/s²
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
角频率
ω = √(390/2) = 13.96 rad/s
最大加速度
amax = A·ω² = 0.03·13.96² = 5.85 m/s²
答案
amax = 5.85 m/s²
15.波、声与光学
答案: L = 0.6522 m
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
波长
λ = v/f = 120/92 = 1.304 m
长度
L = nλ/2 = 1·1.304/2 = 0.6522 m
答案
L = 0.6522 m
16.波、声与光学
答案: m = 0.4444
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
焦距
f = −R/2 = −20 cm
镜面方程
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−20) − 1/25
di = −11.11 cm
放大率
m = −(−11.11)/25 = 0.4444
答案
m = 0.4444
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