物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1200 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.5 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 19 kg 的物块沿倾角为 30° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 19 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s、与水平方向成 40° 的角度朝 14 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 26 m/sθ = 40°x = 14 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 27 m/sθ = 40°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 1.5 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 1.5 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 1.1 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.1 kgr = 0.8 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。求它沿斜面滑行 11 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.25d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 1 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 1 kgh = 1 mL = 3 mμ = 0.2k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 6 m/s 行驶的 1500 kg 汽车撞上一辆静止的 1100 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1500 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 1 m 的轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 3.5 kgL = 1 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.9 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

把一个 1.7 kg 的物体挂在一根 k = 420 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 1.7 kgk = 420 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

光在金刚石（n = 2.42）中向与冕牌玻璃（n = 1.50）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 2.42n₂ = 1.50

θ_c = °

16.波、声与光学困难

波长为 480 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求从中央亮条纹到第 1 条亮条纹的距离 y₁。

λ = 480 nmd = 0.4 mmL = 1 mm = 1

y₁ = mm

3溶液

1.运动学

答案: v = 69.28 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2·1200) = 69.28 m/s

答案

v = 69.28 m/s

(249.4 km/h)

2.运动学

答案: d = 88.29 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1544 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1544))/(2·4.905) = 4.243 s

深度

d = ½·9.81·4.243² = 88.29 m

答案

d = 88.29 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.905 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0) = 4.905 m/s²

答案

a = 4.905 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 2.879 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 15.94)/11.5 = 2.879 m/s²

答案

a = 2.879 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 9.324 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 26·cos 40° = 19.92 m/s

t = x/v_x = 14/19.92 = 0.7029 s

此时的高度

y = 16.71·0.7029 − ½·9.81·0.7029² = 9.324 m

答案

y = 9.324 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 3.806 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 40° = 20.68 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 40° = 17.36 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 17.36·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17.36 + √(301.2 + 98.1))/9.81 = 3.806 s

答案

t = 3.806 s

7.圆周运动

答案: ω = 4.669 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·1.5)) = 4.669 rad/s

答案

ω = 4.669 rad/s

8.圆周运动

答案: T = 110.1 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.1·9.81 + 1.1·8.5²/0.8 = 10.79 + 99.34 = 110.1 N

答案

T = 110.1 N

9.功和能

答案: v = 6.505 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.4226 − 0.25·0.9063)) = 6.505 m/s

答案

v = 6.505 m/s

10.功和能

答案: x = 5.603 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(1 − 0.2·3) = 3.924 J

最大压缩量

½kx² = 3.924 → x = √(2·3.924/2500) = 0.05603 m = 5.603 cm

答案

x = 5.603 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 11423 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·6/2600 = 3.462 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1500·6² = 27000 J

K_after = ½·2600·3.462² = 15577 J

损失的能量

ΔK = 27000 − 15577 = 11423 J

答案

ΔK = 11423 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v = 238.6 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 25°) = 0.09369 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.09369) = 1.356 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.52·1.356/0.02 = 238.6 m/s

答案

v = 238.6 m/s

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.416 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.9/9.81) = 3.416 s

答案

T = 3.416 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.6241 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.7·9.81/420 = 0.03971 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(420/1.7) = 15.72 rad/s

v_max = A·ω = 0.03971·15.72 = 0.6241 m/s

答案

v_max = 0.6241 m/s

15.波、声与光学

答案: θ_c = 38.3 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.50/2.42 = 0.6198

临界角

θc = arcsin(0.6198) = 38.3°

答案

θ_c = 38.3°

16.波、声与光学

答案: y₁ = 1.2 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·1/(0.4 × 10⁻³) = 1.2 mm

第 1 条条纹

y₁ = 1·1.2 = 1.2 mm

答案

y₁ = 1.2 mm

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