物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 50 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 28 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 28 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 35° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 7.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 7.5 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 18 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 34 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 34 m/sθ = 65°h = 55 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1.9 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 45° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 1.9 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 19 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 30°μ = 0.4d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 1 kgh = 8 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一辆以 9 m/s 行驶的 1000 kg 汽车撞上一辆静止的 800 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1000 kgv₁ = 9 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一辆 1100 kg 的汽车撞上一辆停放的 1000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 24 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1100 kgm₂ = 1000 kgd = 24 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 3 kg 的物体连在 k = 30 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 17 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3 kgk = 30 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 25 cm 的薄会聚透镜前 12 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 12 cmf = 25 cm

m =

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 20 m/s 的速度靠近的汽车发射 20 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 14.84 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·6.5) = 14.84 m

答案

s = 14.84 m

2.运动学

答案: h_max = 53.96 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 28·1 = 28 m/s

h₁ = ½·28·1² = 14 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 28²/(2·9.81) = 39.96 m

h_max = 14 + 39.96 = 53.96 m

答案

h_max = 53.96 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.627 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答案

a = 5.627 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 65.42 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 42.2 N

μ·m₁·g·cos θ = 15.07 N

系统的加速度

a = (73.58 − 42.2 − 15.07)/15 = 1.087 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 7.5·(9.81 − 1.087) = 65.42 N

答案

T = 65.42 N

5.抛体运动

答案: t = 3.006 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 55° = 10.32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 55° = 14.74 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·14.74/9.81 = 3.006 s

答案

t = 3.006 s

6.抛体运动

答案: H = 103.4 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 34·sin 65° = 30.81 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 30.81²/(2·9.81) = 48.4 m

离地面的高度

H = 55 + 48.4 = 103.4 m

答案

H = 103.4 m

7.圆周运动

答案: T = 2.325 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1.9·sin 45° = 1.344 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(1.344·9.81·tan 45°) = 3.63 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·1.344/3.63 = 2.325 s

答案

T = 2.325 s

8.圆周运动

答案: v_min = 3.132 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1) = 3.132 m/s

答案

v_min = 3.132 m/s

9.功和能

答案: W_f = 32.28 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.866 = 4.248 N

F = μN = 0.4·4.248 = 1.699 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.699·19 = 32.28 J

答案

W_f = 32.28 J

10.功和能

答案: N = 13.73 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8 − 5) = 58.86 m²/s²

顶点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·58.86/2.5 − 9.81 = 13.73 N

答案

N = 13.73 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 18000 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·9/1800 = 5 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1000·9² = 40500 J

K_after = ½·1800·5² = 22500 J

损失的能量

ΔK = 40500 − 22500 = 18000 J

答案

ΔK = 18000 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 32.09 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·24) = 16.81 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2100·16.81/1100 = 32.09 m/s

答案

v₁ = 32.09 m/s

(115.5 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.042 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.3/9.81) = 3.042 s

答案

T = 3.042 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.5376 m/s

角频率

ω = √(30/3) = 3.162 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.17·3.162 = 0.5376 m/s

答案

v_max = 0.5376 m/s

15.波、声与光学

答案: m = 1.923

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/12

d_i = −23.08 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −(−23.08)/12 = 1.923

答案

m = 1.923

16.波、声与光学

答案: f″ = 22477 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 20000·(343 + 20)/343 = 21166 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 20) = 22477 Hz

答案

f″ = 22477 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics