物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 54 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 36 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 36 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 20° 向上的绳子以 140 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 140 Nθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 140 N 的水平力拉前面 2 kg 的物块；5 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgF = 140 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 32 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 23 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 23 m/sθ = 65°h = 5 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一个系在长 0.3 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 45° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 0.3 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 250 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 250 mθ = 20°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 8° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 200 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 8°F_r = 200 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 2.5 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 24 m/s 向东行驶的 1000 kg 汽车与一辆以 16 m/s 向北行驶的 2000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1000 kgv₁ = 24 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 16 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.7 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 30 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 17 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 3 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 30 N/mA = 17 cmx = 3 cm

U = J

15.波、声与光学中等

一端封闭的管的第 5 次谐波必须为 660 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 5f₅ = 660 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

波长为 656 nm 的光垂直照射在每毫米 300 条刻线的光栅上。求第 3 级极大的角度 θ₃。

N = 300 mm⁻¹λ = 656 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.143 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/7 = 2.143 s

答案

t = 2.143 s

2.运动学

答案: h_max = 84.06 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 36·1 = 36 m/s

h₁ = ½·36·1² = 18 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 36²/(2·9.81) = 66.06 m

h_max = 18 + 66.06 = 84.06 m

答案

h_max = 84.06 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.724 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 140·sin 20° = 148.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 131.6 − 37.08

a = 94.48/20 = 4.724 m/s²

答案

a = 4.724 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 100 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 6.867)/7 = 19.02 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(19.02 + 0.981) = 100 N

答案

T = 100 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: H = 30.63 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 50° = 20.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 50° = 24.51 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 24.51²/(2·9.81) = 30.63 m

答案

H = 30.63 m

6.抛体运动

答案: H = 27.15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 23·sin 65° = 20.85 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 20.85²/(2·9.81) = 22.15 m

离地面的高度

H = 5 + 22.15 = 27.15 m

答案

H = 27.15 m

7.圆周运动

答案: v = 1.443 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.3·sin 45° = 0.2121 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.2121·9.81·tan 45°) = 1.443 m/s

答案

v = 1.443 m/s

8.圆周运动

答案: v_max = 36.51 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(250·9.81·0.483/0.8884) = 36.51 m/s

答案

v_max = 36.51 m/s

(131.5 km/h)

9.功和能

答案: P = 39.13 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 8° = 1365 N

F = 1365 + 200 = 1565 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1565·25 = 39132 W = 39.13 kW

答案

P = 39.13 kW

10.功和能

答案: x = 20.72 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(2.5 − 0.3·2.5) = 85.84 J

最大压缩量

½kx² = 85.84 → x = √(2·85.84/4000) = 0.2072 m = 20.72 cm

答案

x = 20.72 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −1.364 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 4)/(1.5 + 4)·3 = −1.364 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4)·3 = 1.636 m/s

答案

v′₁ = −1.364 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 13.33 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 1000·24 = 24000 kg·m/s

p_y = 2000·16 = 32000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 40000/3000 = 13.33 m/s

答案

v′ = 13.33 m/s

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.811 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.7/2π)² = 1.811 m

答案

L = 1.811 m

14.弹簧与单摆

答案: U = 0.0135 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·30·0.17² = 0.4335 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·30·0.03² = 0.0135 J

答案

U = 0.0135 J

15.波、声与光学

答案: L = 0.6496 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/660 = 0.5197 m

长度

L = nλ/4 = 5·0.5197/4 = 0.6496 m

答案

L = 0.6496 m

16.波、声与光学

答案: θ₃ = 36.19 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 3·656 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.5904

θ = 36.19°

答案

θ₃ = 36.19°

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