物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)1.2 s15

一位以 54 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.2 s，之后汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 54 km/htr = 1.2 sa = −5.5 m/s²
d = m
2.运动学困难
v₀ = 9 m/s40 m

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 9 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 9 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 30°a = ?m = 13 kg

一个 13 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 13 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 5 kg4.5 kg无摩擦

水平桌面上一个 5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 5 kgm2 = 4.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
39 my = ?v0​ = 32 m/s55°

一个球从水平地面以 32 m/s、与水平方向成 55° 的角度朝 39 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 32 m/sθ = 55°x = 39 mg = 9.81 m/s²
y = m
6.抛体运动困难
h = 20 mv0​ = 27 m/s50°射程

一个球 从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 27 m/sθ = 50°h = 20 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.圆周运动中等
r = 105 mvmax​ = ?

一辆汽车通过半径为 105 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。

r = 105 mμs = 0.4g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
θ = 30°指向圆心vmax​ = ?

一个半径为 90 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。 求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 vmax。

r = 90 mθ = 30°μs = 0.15g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
9.功和能中等
30°d = 7 mμ = 0.25

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 7 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 0.5 kgθ = 30°μ = 0.25d = 7 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
10.功和能困难
h = 4 mL = 2 mμ = 0.15k = 500 N/m

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 500 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 4 mL = 2 mμ = 0.15k = 500 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
7 kg67 m/s9 kgv′2​ = ?

一个以 38 m/s 水平运动的 16 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。7 kg 的碎片以 67 m/s 继续向前运动。求 9 kg 碎片的速度 v′2（以原运动方向为正）。

M = 16 kgu = 38 m/sm1 = 7 kgv′1 = 67 m/sm2 = 9 kg
v′2 = m/s
12.动量与碰撞困难
11 m/s15 m/s

一个 0.6 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.6 kgvin = 11 m/svout = 15 m/sΔt = 20 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
L = ?

要使单摆的周期为 1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1 sg = 9.81 m/s²
L = m
14.弹簧与单摆困难
4 kgk = 1400 N/m450 m/s

一颗以 450 m/s 运动的 8 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 4 kg 木块中。木块连在一根 k = 1400 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 8 gv = 450 m/sM = 4 kgk = 1400 N/m
A = cm
15.波、声与光学中等
FFdo​ = 12 cmf = 15 cm

一个物体位于焦距为 15 cm 的薄会聚透镜前 12 cm 处。求像距 di。使用符号规定 1/f = 1/do + 1/di（发散透镜 f < 0，虚像 di < 0）。

do = 12 cmf = 15 cm
di = cm
16.波、声与光学困难
λ = 589 nmθ3​ = ?

波长为 589 nm 的光垂直照射在每毫米 400 条刻线的光栅上。求第 3 级极大的角度 θ3。

N = 400 mm⁻¹λ = 589 nmm = 3
θ3 = °

3溶液

1.运动学

答案: d = 38.45 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

反应距离

d1 = v₀·tr = 15·1.2 = 18 m

制动距离

d2 = v₀²/(2a) = 15²/(2·5.5) = 20.45 m

合计

d = 18 + 20.45 = 38.45 m

答案

d = 38.45 m
2.运动学

答案: t = 3.917 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 9·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 9·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.917 s

答案

t = 3.917 s
3.牛顿定律

答案: a = 4.055 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

答案

a = 4.055 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 23.23 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (44.15 − 0)/9.5 = 4.647 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 5·4.647 + 0 = 23.23 N

答案

T = 23.23 N
5.抛体运动

答案: y = 33.55 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

vx = 32·cos 55° = 18.35 m/s
t = x/vx = 39/18.35 = 2.125 s

此时的高度

y = 26.21·2.125 − ½·9.81·2.125² = 33.55 m

答案

y = 33.55 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 5.028 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 27·cos 50° = 17.36 m/s
vy = v0·sin θ = 27·sin 50° = 20.68 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 20.68·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (20.68 + √(427.8 + 392.4))/9.81 = 5.028 s

答案

t = 5.028 s
7.圆周运动

答案: vmax = 20.3 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·105) = 20.3 m/s

答案

vmax = 20.3 m/s (73.07 km/h)
8.圆周运动

答案: vmax = 26.52 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r
N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(90·9.81·0.6299/0.791) = 26.52 m/s

答案

vmax = 26.52 m/s
(95.46 km/h)
9.功和能

答案: Wf = 7.434 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.866 = 4.248 N
F = μN = 0.25·4.248 = 1.062 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 1.062·7 = 7.434 J

答案

Wf = 7.434 J
10.功和能

答案: x = 60.25 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(4 − 0.15·2) = 90.74 J

最大压缩量

½kx² = 90.74 → x = √(2·90.74/500) = 0.6025 m = 60.25 cm

答案

x = 60.25 cm
11.动量与碰撞

答案: v′2 = 15.44 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 16·38 = 608 kg·m/s

碰撞后的动量

608 = 7·67 + 9·v′2
v′2 = (608 − 469)/9 = 15.44 m/s

答案

v′2 = 15.44 m/s
12.动量与碰撞

答案: Favg = 780 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(15 + 11) = 15.6 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 15.6/0.02 = 780 N

答案

Favg = 780 N
13.弹簧与单摆

答案: L = 0.2485 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

答案

L = 0.2485 m
14.弹簧与单摆

答案: A = 4.806 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.008·450/4.008 = 0.8982 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1400/4.008) = 18.69 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.8982/18.69 = 0.04806 m = 4.806 cm

答案

A = 4.806 cm
15.波、声与光学

答案: di = −60 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/di = 1/f − 1/do = 1/15 − 1/12
di = −60 cm
FF12 cmf = 15 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

di = −60 cm
16.波、声与光学

答案: θ3 = 44.98 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/400 mm = 2.5 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 3·589 × 10⁻⁹/(2.5 × 10⁻⁶) = 0.7068
θ = 44.98°

答案

θ3 = 44.98°

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