物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 100 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.7 s，之后汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 100 km/ht_r = 0.7 sa = −8 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 18 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 10 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 40 N 的水平力拉前面 8 kg 的物块；4 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 8 kgF = 40 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 24 m/s、与水平方向成 45° 的角度朝 35 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 24 m/sθ = 45°x = 35 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶部以 18 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 18 m/sθ = 20°h = 10 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆 1100 kg 的汽车以 14 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 25 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1100 kgv = 14 m/sr = 25 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个半径为 270 m 的弯道倾斜 25°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 270 mθ = 25°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 20°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 0.5 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 1.5 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 5 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 500 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1600 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 17 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.15 kgv_in = 17 m/sv_out = 10 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 50 N/m 弹簧上的 2.2 kg 物体被沿正方向拉开 10 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.75 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.2 kgk = 50 N/mA = 10 cmt = 0.75 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个 2.4 kg 的物体连在 k = 250 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 18 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.4 kgk = 250 N/mA = 18 cm

E = J

15.波、声与光学中等

光在亚克力（n = 1.49）中向与甘油（n = 1.47）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.49n₂ = 1.47

θ_c = °

16.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光通过一条宽 0.12 mm 的单缝。求 1 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 500 nma = 0.12 mmL = 1 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: d = 67.67 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 27.78·0.7 = 19.44 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·8) = 48.23 m

合计

d = 19.44 + 48.23 = 67.67 m

答案

d = 67.67 m

2.运动学

答案: h_max = 26.51 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

离地面的高度

h_max = 10 + 16.51 = 26.51 m

答案

h_max = 26.51 m

3.牛顿定律

答案: F = 42.77 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 33.55 + 9.218 = 42.77 N

答案

F = 42.77 N

4.牛顿定律

答案: a = 2.352 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (40 − 11.77)/12 = 2.352 m/s²

答案

a = 2.352 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 14.14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 24·cos 45° = 16.97 m/s

t = x/v_x = 35/16.97 = 2.062 s

此时的高度

y = 16.97·2.062 − ½·9.81·2.062² = 14.14 m

答案

y = 14.14 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: H = 11.93 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 18·sin 20° = 6.156 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 6.156²/(2·9.81) = 1.932 m

离地面的高度

H = 10 + 1.932 = 11.93 m

答案

H = 11.93 m

7.圆周运动

答案: N = 2167 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1100·9.81 − 1100·14²/25 = 10791 − 8624 = 2167 N

答案

N = 2167 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_max = 48.58 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(270·9.81·0.6945/0.7795) = 48.58 m/s

答案

v_max = 48.58 m/s

(174.9 km/h)

9.功和能

答案: T = 10.99 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 20°) = 0.5916 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·0.5916/0.5 = 10.99 N

答案

T = 10.99 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 10.99 N。

10.功和能

答案: v = 4.698 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(1.5 − 0.25·1.5) = 11.04 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.125) = 4.698 m/s

答案

v = 4.698 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 4762 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·5/2100 = 3.81 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1600·5² = 20000 J

K_after = ½·2100·3.81² = 15238 J

损失的能量

ΔK = 20000 − 15238 = 4762 J

答案

ΔK = 4762 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 405 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(10 + 17) = 4.05 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 4.05/0.01 = 405 N

答案

F_avg = 405 N

13.弹簧与单摆

答案: x = −9.073 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(50/2.2) = 4.767 rad/s

ω·t = 4.767·0.75 = 3.575 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 10·cos(3.575) = −9.073 cm

答案

x = −9.073 cm

14.弹簧与单摆

答案: E = 4.05 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(250/2.4) = 10.21 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·250·0.18² = 4.05 J

答案

E = 4.05 J

15.波、声与光学

答案: θ_c = 80.6 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.47/1.49 = 0.9866

临界角

θc = arcsin(0.9866) = 80.6°

答案

θ_c = 80.6°

16.波、声与光学

答案: w = 8.333 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 500 × 10⁻⁹·1/(0.12 × 10⁻³) = 4.167 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 8.333 mm

答案

w = 8.333 mm

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